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今日の講義で学ぶこと
• 中心極限定理(central limit theorem)
– 2項分布の近似
– 半目盛補正
確率・統計（10）
• 統計量
～統計量と確率変数～
–
χ 2分布(chi-squared distribution)
2
• χ 分布表(付表3:教科書p.171)
• 推定に関わっている(4章で扱います)
– t分布(t-distribution)
• t分布表(付表2:教科書p.170)
• 推定に関わっている(4章で扱います)
中心極限定理(central limit theorem)3/21
(pp.73-75)
【定理 3.5(中心極限定理 )】母集団 X から得られる
標本平均 X の分布は、標本の大きさ n を十分大
きく取れば、正規分布で近似できる。
【証明】省略
【注】集団 X の分布には因らない。また、標本平均 X
の平均値は、X の平均値の近似となっているはずだが、
標本平均 X の分布が正規分布になることは、X の分布
に関する情報を与えるものではない。
【例題3.4(pp.74-75)】サイコロを600回投げて
1の目が110回以上出る確率を求めよ。
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【解答】 600回投げて1の目が出る回数を X とおくと、
X～B(600,1/6) である。定理3.6により、
B(600,1/6) ～ N(100,500/6)
と近似できるので、 X∼N (100,500 / 6) である。
X − 100
500 / 6
とすると、Z～N(0,1) より
10 

P (X ≥ 110) ≈ P  Z ≥

500 / 6 

= P ( Z ≥ 1.095 ) = 0.5 − 0.3632 = 0.1368
Z=
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標本の大きさが大きい2項分布
【定理3.6】 2項分布 B(n,p) は、n が十分大きい
とき、正規分布 N(np,np(1-p)) で近似できる。
【解説】X∼Be( p ) とする。ここで、
Y = X1 + X2 +  + Xn
とおくと、Y∼B (n, p ) であるから
E[Y ] = np, V [Y ] = np (1 − p )
である。一方、X = Y / n とすると、中心極限定理により
X は正規分布で近似できる。よって、定理 2.13 により
Y = nX も正規分布で近似できる。以上から、
Y∼N (np, np (1 − p ))
χ 2分布(chi-squared distribution)
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(pp.75-80)
【定義】母集団 X が標準正規分布 N(0,1) に
従うとき、そこから得られた標本 Z1,Z2,・・・,Zn
によって作られた統計量
n
Y =  Z i2
i =1
2
2
が従う分布を自由度 n の χ 分布と呼び、 χn と
表す。
【注】 n は、自由度(degrees of freedom)と呼ばれ
るパラメータです。
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【解説】
Z1,Z2,・・・が標準正規分布 N(0,1) に従うとき
【定理】 Zi～N(0,1) (i=1,2,・・・,n) とする。このとき、
n
Y =  Z i2
Z12 ∼ χ12
(Z1,Z2,・・・,Zn は互いに独立)
i =1
Z12 +Z 22 ∼ χ22
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
Z +Z +Z ∼ χ
2
4
2
で定まる自由度 n の χ 分布の確率密度関数を fn
とすると、
1
fn (x) = n / 2
x n / 2−1e − x / 2 (0 < x < ∞)
2 Γ (n / 2)
である。ただし、 Γ はガンマ関数(gamma function)
と呼ばれる関数で以下で定義されるものである。
n
 Z ∼ χn2
2
i
2
3
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χ 2 分布の確率密度関数
i =1
2
4
Z +Z +Z +Z ∼ χ

∞
Γ (m ) =  e − x x m −1dx
0
Γ 関数の性質
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χ 2 分布の確率分布
∞
Γ (m ) =  e − x x m −1dx
fn (x) =
0
2
n/2
1
x n / 2 − 1e − x / 2 Γ (n / 2)
1.4
以下が成り立つ
1.2
（１）Γ (1) = 1
n = 1, 2 ：単調減少、 lim f1 (x) = ∞、 lim f2 (x) =
x→ 0 + 0
1
n=1
x→0 + 0
1
2
0.8
（２）Γ (m + 1) = mΓ (m )
n ≥ 3 ：x = n − 2 で極大(最大)値、 fn (0) = 0
0.6
（３）m が整数のとき Γ(m + 1) = m !
n=2
0.4
n=3
0.2
【注】証明は省略（教科書pp.76-77参照）
数学解析I,IIの教科書も参照してください。
n=5
0
0
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【練習問題】
χ22 の分布は指数分布であることを示しなさい。
1
2
3
4
5
χ 2 分布の平均と分散
【定理 3.8】X∼χn2 のとき、
E [ X ] = n , V [ X ] = 2n
【証明】省略(教科書pp.77-78参照)
【注】定理3.9は、推定のところで扱います
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χ 2分布表の使い方

∞
f (x)dx = α
【練習問題】教科書付表3(p.171)の
χ 2 分布表を用いて次の値を答えなさい。
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χn2 ( α ) n
Y が χn2 分布に従うとする。
2
（１） χ4 (0.95)
P (Y ≥ a ) = α を満たす a を
χn2 (α) と記すことにする。
2
（２） χ4 (0.05)
【例題】Y∼χ22 とする。
(1) χ22 (0.95) を求めよ。
2
（３） X∼χ6 のとき、P ( X ≤ 2.204)
(2) P (Y ≤ 0.051) を求めよ。
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【練習問題】
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標的を弓矢で射るものとする。標的の中心を原点するとき、
矢の当たる場所を ( X , Y ) とすると、X と Y は独立に N ( 0, 2 )
に従うことがわかっている。的の半径が 0.422 とするとき、
的に当たる確率を求めなさい。
【ヒント】
(
求めたい確率は、P X 2 + Y 2 ≤
(X , Y )
半径
0
的（まと）
(
0.422
また、X∼N (0, 2), Y∼N (0, 2) なので
))
2
X
Y
∼N (0,1) かつ ∼N (0,1)
2
2
である。よって、
2
2
X   Y 
2

 +
 ∼χ2
 2  2
t分布(t-distribution)(pp.80-83)
2
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【定義】 X～N(0,1) かつ Y～ χn とする。また、
X と Y は独立であるとする。このとき、統計量
X
T =
Y
n
の従う分布を自由度 n の t分布(t-distribution)
と呼び、tn と表す。
t分布の確率密度関数
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【定理】X∼N (0,1) かつ Y∼χn2 とする。このとき、
T =
X
で定まる自由度 n の t分布の確率密度関数
Y
n
を fn とすると、
 n+1
n +1
Γ
 
2 − 2

x
2

 1+
fn (x) =


n
n
nπΓ  
【注】fn (x ) = fn ( − x )
2
t分布の平均と分散
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T が tn 分布に従うとする。
【定理】X∼tn のとき、
E [X ] = 0
V [X ] =
P ( T ≥ a ) = α を満たす a を
( n ≥ 2)
tn (α) と記すことにする。
n
( n ≥ 3)
n−2
【例題】T∼t2 とする。
(1) t2 (0.95) を求めよ。
【証明】省略
(2) P (T ≤ 1.886) を求めよ。
【注】定理3.10は、推定のところで扱います
【練習問題】教科書付表2（p.170）の
t 分布表を用いて次の値を答えなさい。
（１） t7 (0.05)
（２） t7 (0.95)
（３） T∼t10 とする。このとき、P (T ≤ −1.812)
t分布表の使い方
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∞
()
tn α
fn (x)dx =
α
2
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