期待値（PowerPoint ファイル） - MACS

数学Ｂ
確率分布
確率分布
期待値
期待値(expectation)
変量 𝑋 のとりうる値を 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 とし、
𝑋 がこれらの値を取る確率を、それぞれ
𝑝1 , 𝑝2 , ⋯ , 𝑝𝑛 とすると、𝑋 の期待値または平均は、
𝒏
𝑬 = 𝒙𝟏 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐 𝒑𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏 𝒑𝒏 =
となる。
ただし、𝑝1 +
𝒙𝒌 𝒑𝒌
𝒌=𝟏
𝑝2 + ⋯ +
（𝐸 を関数のようにして 𝐸 𝑋 と表すこともある。）
𝑝𝑛 = 1
分散と標準偏差
𝑿 の分散 = 𝑿𝟐 の期待値 − 𝑿 の期待値
𝑽 𝑿 = 𝑬 𝑿𝟐 − 𝑬 𝑿 𝟐
𝟐
𝑿 の標準偏差 = 𝑿𝟐 の期待値 − 𝑿 の期待値
𝝈 𝑿 = 𝑬 𝑿𝟐 − 𝑬 𝑿 𝟐
※ 𝑉 は分散：𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 の頭文字、
𝜎 は標準偏差：𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 の頭文字 𝑠
に当たるギリシャ文字
𝟐
期待値：例題
１個のさいころを１回投げるとき、
出る目の期待値 𝐸 を求めよ。
出る目を 𝑋 とすると、𝑋 の各値と、𝑋 がその値をとる確率は
下の表のようになる。よって、出る目の期待値 𝑋 は
X の値
確率
1
2
3
4
5
6
計
1
1
1
1
1
1
1 7
𝐸 =1× +2× +3× +4× +5× +6× =
6
6
6
6
6
6 2
練習問題１
１枚の硬貨を３回続けて投げるとき、
表が出る回数の期待値 𝐸 を求めよ。
表が出る回数を 𝑋 とすると、𝑋 の各値と、𝑋 がその値をとる
確率は下の表のようになる。よって、出る回数の期待値 𝑋 は
X の値
0
1
2
3
確率
𝐸 = 0 × 3𝐶0
1
2
3
+ 1 × 3𝐶1
計
1
1
2
3
+ 2 × 3𝐶2
1
2
3
+ 3 × 3𝐶3
1
2
3
3
=
2
期待値の応用
次の２つの場合のいずれかが選べるとき、どちらを
選んだ方が、得られる金額の期待値が大きいか。
1 確実に 30,000円得られる場合
2 40,000円得られる確率が 0.8 で、
何も得られない確率が 0.2 である場合
1 を選んだときの期待値は 30,000円
2 を選んだときの期待値は
40,000 × 0.8 + 0 × 0.2 = 32,000 すなわち 32,000円
よって、 2 を選ぶ方が期待値が大きい。
練習問題２
次の３つの場合の中で、得られる金額の
期待値が最も大きいのはどれか。
1 確実に 600 円得られる場合
2 硬貨を１枚投げて、表が出たら 1,000 円、
裏が出たら 500 円得られる場合
3 さいころを１回投げて、200 円に出た目
を掛けた金額が得られる場合
練習問題２：解答
1 の期待値は 600 円
2 の期待値は、
1
1
× 1000 + × 500 = 750（円）
2
2
3 の期待値は、
1
1
1
× 200 + × 400 + ⋯ + × 1200 = 700（円）
6
6
6
よって、 𝟐 の期待値が最も大きい。
ギャンブルの期待値
› 宝くじ＝４０～５０％（＝国の取り分５０～６０％）
› 競馬＝７５％（＝ＪＲＡの取り分２５％）
› 競艇＝７５％（＝開催市自治体の取り分２５％）
› 競輪・オート＝７５％（＝ＪＫＡの取り分２５％）
› パチンコ・スロット＝９２～９７％（未公開）
（パチンコ屋の取り分３～８％）
› カジノ＝９９％（ディーラーの取り分１％）

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