問題 1 行列のプログラミングに関する問題 (1) 問. A ∈ R3×3 とする．行列 A をキーボード入力より設定し，逆行列を持つかどうか判定せよ．また逆行列をもつ場合はその逆行列を計算し，画面に出力するようなプログラムを作成せよ． (2) 問. A ∈ R3×3 を正定値対称行列とする．行列 A を適切に設定 ∗ し，行列の固有値とそれに対応する固有ベクトルを出力するようなプログラムを作成せよ．さらに，画面に対角化行列を表示し，行列 A を対角化せよ．（∗ 正定値対称行列を設定する方法は授業にて扱った方法などを参考にせよ．） (3) 問. A ∈ R2×2 とする．行列 A，自然数 n をキーボード入力より設定し，An を計算するようなプログラムを作成せよ．（行列 A を直接掛け算するのではなく，対角化が利用可能場合は利用すること） 1 2 問題 2 授業では波動方程式の数値解法を紹介したが，これは陽解法と呼ばれる手法である． (1) 問. 波動方程式に対する陽解法の数値不安定性とはどのような事を指すか詳細に議論せよ． (2) 問. 波動方程式に対する陰解法を C 言語にて作成せよ．（厳密解に収束するかを Check し，ソルバーが正しく実装できるていることを確認すること！） (3) 問. 陽解法と陰解法の利点欠点をそれぞれ３つ以上項目を設け，詳細に議論せよ． 3 問題 3 連立一次方程式の反復法に関する問題． (1) 問. SOR 法 (Successive Over-Relaxation Method) とはどのような方法か説明せよ．（ヒント：例えば「数値解析」森正武著，共立出版の pp.35∼ より詳細に解説されている．．．） (2) 問. SOR 法の C プログラミングを完成させよ．ただし，問題サイズ（解こうとする行列のサイズ）は可変であること． 4 問題４グラム・シュミットの正規直交化法は，与えられた線型独立なベクトルの組から正規直交系を作り出すアルゴリズムである．そこで以下の疑似コードを参考に，グラム・シュミットの正規直交化法を行う C プログラムを書きなさい．また自分が書いたプログラムを次の {v1 , v2 , v3 , v4 } に使用し実行せよ．ただし，< ·, · > はユークリッド空間の内積とする．   0.89 0.15 0.81 0.20  0.96 0.26 0.24 0.25   (v1 |v2 |v3 |v4 ) =   0.55 0.84 0.93 0.62  0.14 0.25 0.35 0.47 Gram-Schmidt: INPUT: {v1 , v2 , ..., vk } for (j = 1; j ≤ k; j++) do for (i = 1; i ≤ j − 1; i++) do s ←< vj , vi > vj ← vj − svi end for vj ← vj /||vj || end for 5 問題５非線形方程式系 f (x) = 0 の解法として，次の一般化したニュートン法がある． xn+1 = xn − [Jf (xn )]−1 f (xn ) 上の J は f のヤコビ行列である．これを考慮し，次の関数 f (x1 , x2 ) = (f1 (x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 ))T = (0, 0)T の解を近似する C プログラムを書きなさい．ただし，x0 = (0.1, 0.5) とし， n = 1, ..., 10 まで計算せよ． f1 (x1 , x2 ) = cos(2x1 ) − cos(2x2 ) − 0.4 f2 (x1 , x2 ) = 2(x2 − x1 ) + sin(2x2 ) − sin(2x1 ) − 1.2 ||f || x2 x1 Figure 1. Locate the zero. 6 問題６次の偏微分方程式について考えよ． { uxx + ux = −1 x ∈ (0, 1) (3) u(0) = 0, u(1) = 0. 差分法を用いて (3) の解を連立方程式の解として近似し，その結果を画面に出力すること．但し，uxx ≈ u(x+∆x)−2u(x)+u(x−∆x) と ux ≈ u(x+∆x)−u(x−∆x) を用いて， ∆x2 2∆x ∆x = 1/39 とする．