(1) Q(x) (2) - SUUGAKU.JP

年番号
1
氏名
P(x) は x3 の係数が 1 の 3 次式である．P(x) を x ¡ 1 で割ったときの余りが ¡3 である．ま
4
た，P(x) を x ¡ 2 で割ると割り切れ，その商を Q(x) とする．Q(x) を x + 3 で割ると余りが
(1) m を 2 以上の自然数とする．このとき，命題「 am + bm < 1 ならば，a + b 5 1 である」は，
7 である．
a; b はともに 0 以上の実数とする．
偽であることを示せ．
(2) 命題「 a + b < 1 ならば，すべての自然数 n に対して an + bn < 1 である」の真偽を調べ，真
(1) Q(x) を x ¡ 1 で割ったときの余りを求めよ．
である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
(2) Q(x) を求めよ．
(3) P(x) を (x ¡ 1)(x + 3) で割ったときの商と余りを求めよ．
（群馬大学 2013 ）
（徳島大学 2013 ）
5
3 次の整式 P(x) は，次の条件 ‘; ’; “ を満たしている．
‘ P(x) の x3 の係数は 1 である．
2
’ P(x) は (x ¡ 1)2 で割り切れる．
x が 3 < x < 6 の範囲にあるとき，次の問に答えよ．
4
1
+
= 3 が成立することを示せ．
x¡3
6¡x
5
4
(2) この範囲でつねに
+
= a が成立するような a の最大値を求めよ．
x¡3
6¡x
“ P(x) を x + 1 で割った余りと，x2 ¡ x ¡ 2 で割った余りは等しい．
(1) この範囲ではつねに
（香川大学 2013 ）
このとき，次の各問に答えよ．
(1) P(x) を求めよ．
(2) fP(x)g2 を (x + 1)2 で割った余りを求めよ．
（宮崎大学 2013 ）
3
6
p
2 次方程式 x2 + 2x + 1 = 0 について，次の問いに答えよ．
a; b をいずれも正の数とする．次の問いに答えよ．
(1) x を正の数とするとき，次の不等式を証明せよ．
(1) この 2 次方程式の解を求めよ．
(2) (1) で求めた解のうち，虚部が正のものを ®，負のものを ¯ とおく．このとき，以下の値を求
ax+1 + bx+1 = abx + ax b
めよ．
(2) n を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
‘ ®4
’ ®8
“ ®¯
” ®1010
•®2017 ¯2013
（鳥取大学 2013 ）
#
a+b n
an + bn
; 5
2
2
p
(3) a + b 2 = 4 のとき，a4 + 4b4 の最小値を求めよ．
（岡山県立大学 2013 ）
7
p; q を実数の定数とする．2 次関数 f(x) = x2 + px + q について，以下の問いに答えよ．
(1) f(a) = a を満たす実数 a が存在するための p; q についての必要十分条件を求めよ．
(2) f(a) = b; f(b) = a を満たす異なる実数 a; b が存在することと，p; q が不等式
(p ¡ 1)2 ¡ 4(q + 1) > 0 を満たすことは同値であることを証明せよ．
（広島市立大学 2013 ）
13
の中に答を入れよ．
(1) x の整式 x3 + 3mx2 + 2(m2 ¡ 1)x ¡ 4 が (x + 2)2 で割り切れるとする．このとき，m の値
はm=
(2) 行列 A = '
(x; y) =
8
a; b; c; p; q を実数とし，整式 f(x) = x4 +ax3 +bx2 +cx¡1 を整式 g(x) = x3 +px2 +qx+2
で割った余りは x2 + 1 であるとする．
であり，商は
ア
x+1
2
¡5
y¡2
ウ
めると (x; y) =
イ
である．
1 0
? がある．A2 = '
0 1
? を満たすとき，x と y の値を求めると
である．また，A が逆行列をもたないような 2 つの正の整数 x と y の値を求
エ
である．
(3) a は 1 ではない実数，k は 3 以上の整数とする．初項が a，第 2 項が 1 の等差数列があり，その
(1) f(x) = 0 と g(x) = 0 は実数の範囲に共通の解をもたないことを示せ．
第 k 項を b とする．b を a と k で表すと b =
(2) f(x) = 0 と g(x) = 0 が共通の解をもつとき，f(x) と g(x) を求めよ．
項が a，第 3 項が b の数列が等比数列になるとき，a を k で表すと a =
である．この b に対して，初項が 1，第 2
オ
カ
である．
(4) 曲線 C : y = log x 上の点 P(2; log 2) から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を Q とす
（滋賀県立大学 2013 ）
9
!=
p
¡1 + 3i
; (i2 = ¡1) のとき，!20 + !19 + !8 + !6 + !4 + !3 の値を求めよ．
2
（自治医科大学 2013 ）
10 x6 + 2x5 + 4x4 + ax3 + bx2 + 8x + 6 が x3 + 2 で割り切れるとき，a + b の値を求めよ．
（自治医科大学 2013 ）
11 x2 + (5 ¡ m)x ¡ 2m + 7 = 0 が虚数解をもつように，整数 m を定めたとき，m の最大値を求
めよ．
（自治医科大学 2013 ）
12 次の各問いに答えよ．
(1) 2 次方程式 x2 + 5x + 3 = 0 の 2 つの解を ®，¯ とするとき，®2 + ¯2 と
1
1
の値をそれ
+
®
¯
ぞれ求めよ．
(2) x の方程式 34x + 32x+2 ¡ 52 = 0 を解け．
b
= 4 が成り立つとき，この扇形の半径 r を求めよ．
(3) 面積 a の扇形の弧の長さが b であり，
a
（北海学園大学 2013 ）
る．P における C の接線を `，P を通り ` と垂直な直線を m とし，m と x 軸との交点を R とす
る．このとき，m の方程式を求めると y =
S=
ク
キ
である．また，4PQR の面積 S を求めると
である．
(5) 3 つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の最大値が 6 となる確率は
目の最大値と最小値の組が (6; 1) となる確率は
コ
ケ
であり，出た
である．
（南山大学 2013 ）

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