2015東京大学文系2番

2015 東大文系
問題２
座標平面上の２点 A(−1, 1).B(1, −1) を考える。また、P を座標平面上の点と
し、その x 座標の絶対値は 1 以下であるとする。次の条件 (i) または (ii) をみ
たす点 P の範囲を図示し、その面積を求めよ。
( i ) 頂点の x 座標の絶対値が 1 以上の２次関数のグラフで、点 A.P.B のすべて
通るものがある。
( ii ) 点 A,P,B は同一直線上にある。
解答 P の座標を (X, Y ) とおく。まず、条件 (i) をみたすための (X, Y ) の条件を求
める。２次関数を y = f (x) とおき、これと y = −x との交点が A,B だから、
f (x) + x = k (x + 1) (x − 1)
⇔ f (x) = kx2 − x − k
(
)2
1
1
=k x−
−
−k
2k
4k
とおける。この２次関数が P を通るから、
(
)
1
Y = k X2 − 1 − X · · · · · · 頂点の x 座標の絶対値が 1 以上だから、
1
= 1 ⇔ −1 5 k 5 1 · · · · · · 2
2k 2
2
求めるものは
1 かつ
2 をみたす k が存在する」
「
ような k の全体である。
\ 1 のときは、
(X, Y ) = (1, 1), (−1, −1) は適する。X 2 =
Y +X
k= 2
X −1
より、
−
Y +X
1
1
5 2
5
2
X −1
2
|X| < 1 のもとで
)
)
1(
1(
− 1 − X 2 5 −X − Y 5
1 − X2
2
2
)
)
1(
1(
2
⇔ −X −
1 − X 5 Y 5 −X +
1 − X2
2
2
一方、(ii) では Y + X = 0 これらを |X| 5 1 のもとで図示すると下図のようになる。
c
Darumafactory
-1-
RadicalMath
y
A
1
O
−1
1
x
−1
B
この図形の面積は、
∫ 1
(
)
1
4
3
1 − X 2 dX = (1 − 1) =
6
3
1
c
Darumafactory
-2-
RadicalMath

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