平行四辺形と面積比

平行四辺形の面積比の問題では, 平行四辺形の面積の半分 (1 つの対角線で区切った三角
形) を求めて 2 倍すれば, 平行四辺形の全体の面積が求めることができる。ケースバイケー
スであるかもしれないが, 半分を求めればいいという意識があるだけでも見方は変わって
くる。その典型的な問題を 2 つ解いてみよう。
右の図で, 右の図で四角形 ABCD は平行四辺形で,
P
A
P は辺 AD を 2 : 1 に分ける点である。線分 PB と
線分 AC の交点を Q とするとき, 次の問いに答えな
さい。
Q
D
(1) 四角形 PQCD の面積と平行四辺形 ABCD の面
積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
B
平行四辺形の面積比問題の場合の攻め方は, 相似な図形がある場合は, ケースバイケー
スであるが, その相似な図形の対応する辺の比を求めて 2 乗することを個人的にはお勧め
する。あとは辺の比で面積の割合が求まってしまう。ここでいう求まってしまうのは, 平
行四辺形の面積の半分で, それを 2 倍すれば全体は容易に求まる。では解いてみましょう。
1
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C
右の図で, AP : CB=2 : 3(△AQP ∽ △CQB) で
あるから, △AQP : △CQB= 4 : 9 △AQB= x と
おくと, PQ : QB=2 : 3(△AQP∽△CQB) より, 2
: 3= 4 : x, よって, x = 6
これで平行四辺形の面積の半分 (△ABC) が 15 であ
るから, 四角形 PQCD は 15 (△ADC)− 4 (△AQP)=
2
⃝
A
P
1
⃝
D
4
x
Q
11
よって, 四角形 PQCD の面積と平行四辺形 ABCD
の面積の比は 11 : 30
である。
9
B
C
3
⃝
2
⃝
A
P
1
⃝
4
6
Q
11
9
B
2
3
⃝
C
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D
右の平行四辺形 ABCD で, 辺 AB, BC, CD の中点
をそれぞれ, E, F, G とする。このとき, 次の問いに
答えなさい。
A
D
E
(1) 五角形 AEFCG の面積は平行四辺形 ABCD の
面積の何倍か求めなさい。
B
G
F
C
この問題も平行四辺形の半分を考える。対角線 AC を引いて解いていく問題である。
△BEF∽△BAC で, 相似比は 1 : 2 であるから, 面
A
D
1 :⃝
4 。したがって, △BEF と四角形 EFCA
積比は ⃝
2
⃝
1 : ⃝
3 。これですでに平行四辺形の面
の面積比は ⃝
1
4 であることが分かった。つ
積の半分 (△ABC) は⃝
2
⃝
E
G
3
⃝
4 になり, DG : GC=1 : 1 であるか
まり, △ACD=⃝
1
2 となる。以上より, 五角形
1
⃝
ら, △ACG=△AGD=⃝
5 , 平行四辺形 ABCD の面積は⃝
8
AEFCG の面積は⃝
B
C
1
F
5
2
倍である。
であるから,
8
3
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