2. 線形写像 2.1 線形写像と表現行列（解答）

線形代数学 2
No.7
2005.12. 7
2. 線形写像 2.1 線形写像と表現行列（解答）
!
x1
問題 12 f (
x2
!
−x1 + x2
)=
担当：市原
できまる写像を f とする.
x1 + 2x2
(1) f が線形写像であることを示しなさい.
f(
f(
x1
y1
x1
!
!
y1
x2
+
y1
y1
y2
x
f (k
y
x
kf (
!
y
kx
) = f(
x
よって, f (k
y
!
!
−x + y
!
x + 2y
) = kf (
y
以上より, f は線形写像.
x1
y1
と任意の実数 k に対して,
!
kx + 2ky
,
k(−x + y)
=
!
k(x + 2y)
!
x
−x1 − x2 + y1 + y2
(x1 + x2 ) + 2(y1 + y2 )
x1 + x2 + 2y1 + 2y2
!
!
−x1 − x2 + y1 + y2
−x2 + y2
=
+
x1 + x2 + 2y1 + 2y2
x2 + 2y2
!
!
x2
) + f(
)
y2
−kx + ky
)=
ky
)=k
!
x
=
!
x1 + 2y1
) = f(
!
−(x1 + x2 ) + (y1 + y2 )
)=
−x1 + y1
!
x2
!
y1 + y2
)=
+
に対して,
y2
!
y2
!
x1 + x2
また, R2 の任意のベクトル
!
x2
,
) = f(
x2
!
x1
よって, f (
!
y2
) + f(
!
x1
R2 の任意のベクトル
−kx + ky
=
!
kx + 2ky
).
y
(2) f の表現行列を求めなさい.
f(
x1
x2
問題 13 g(
!
)=
4
−1
!
−x1 + x2
!
x1 + 2x2
)=
3
!
5
=
, g(
−1
1
1
2
−7
2
!
!
)=
仮定と表現行列の定義より,
4
−1
!
)=
!
より, f の表現行列は
x2
!
−1
3
g は, R2 から R2 への写像なので, g の表現行列は
8
>
>
>
>
< f(
!
x1
b
!
a
b
c
d
!
b
1
!
1
2
できまる線形写像 g の表現行列を求めなさい.
a
c
−1
d
!
とおける.
4
−1
!
!
=
>
−7
a
−7
>
>
=
)=
>
: f(
2
c d
2
!
!
!
a b
4
−7
3 −1
2 つの式をまとめると,
=
c d
−1
2
5
3
!
!−1
2 7
4
−7
より,
=
1 4
−1
2
!−1
!
!
!
!
4
−7
3 −1
a b
5
2 7
3 −1
=
=
=
−1
2
5
3
c d
13
1 4
5
3
!
5
17
.
よって, g の表現行列は
13 47
3
!
5
−1
3
17
47
!
!
!

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