線形代数演習 I 小テスト

線形代数演習 I 小テスト
担当：古宇田悠哉
平成 28 年 7 月 24 日実施
学籍番号
問題
氏名
正則な 2 次正方行列からなる集合を GL2 (R) とおく．GL2 (R) の部分集合 H を次で定める．
{(
)
a b
H=
0 d
¯
}
¯
¯ a, b, d ∈ R, ad 6= 0 .
¯
次の問いに答えよ．
(1) A, B を H の元とするとき，A−1 , AB もそれぞれ H の元であることを示せ．
(2) GL2 (R) 上の関係 ∼ を
A ∼ B ⇔ AB −1 ∈ H
で定める．∼ は GL2 (R) 上の同値関係であることを示せ．
線形代数学演習 I
古宇田悠哉
平成 28 年 7 月 24 日配布
12
掃き出し法
• 行列の列に関する次の 3 つの操作を行基本変形とよぶ．
1. 第 i 行と第 j 行を入れ替える．(ただし，i 6= j)
2. 第 i 行を c 倍する．(ただし，c 6= 0)
3. 第 i 行に第 j 行の c 倍を加える．(ただし，i 6= j, c 6= 0)
• 未知数 x1 , x2 , . . . , xn を含む連立 1 次方程式

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1





 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2







a11

 a21

は，行列 A =  .
 ..

am1
..
.
am1 x1 + an2 x2 + · · · + amn xn = bm
a12
···
a22
..
.
···
..
.
am2
···
a1n


x1


b1


 
 
 x2 
 b2 
a2n 

 
 
,
ベクトル
x
=
,
b
=



 .  を用いて Ax = b
.. 
.. 

 .. 
. 
 . 
 
amn
xn
bm
と表すことができる．このとき，行列



(A | b) := 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
b1
b2
..
.
am1
am2
···
amn
bm





を上の連立方程式の拡大係数行列とよぶ．拡大係数行列に行基本変形を上手く施すことにより，
上の連立方程式に解があるかないかを判定することができ，さらに解があるときはならば解を決
定することが出来る．例えば，


1
0
0 1



– 拡大係数行列が行基本変形により 
 0 1 0 2  という形にできたとすると，その連立
0 0 1 3
   
x1
1
   



1 次方程式の解は x2  = 2
 である．
x3
3


1 0 1 1



– 拡大係数行列が行基本変形により 
 0 1 −2 2  という形にできたとすると，その連
0 0 0 0


 
 
1
−1
   
 





立 1 次方程式の解は x2  = 2 + t  2 
, (t ∈ R) である．
x3
0
1


1 0 0 1



– 拡大係数行列が行基本変形により 
 0 0 1 2  という形にできたとすると，その連立
0 0 0 3
1 次方程式の解は存在しない．
x1
こうした連立 1 次方程式の解き方を掃き出し法，あるいはガウスの消去法とよぶ．


a11 a12 · · · a1n


 a21 a22 · · · a2n 


に対し，これと n 次単位行列 E =
• n 次正方行列 A =  .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 


an1 an2 · · · ann


1 0 ··· 0


.

..
0 1
. .. 

 を並べて得られる行列
. .

. . . . . 0
 ..


0 ···
0 1

a11

 a21
(A | E) := 
 .
 ..
an1
a12
···
a1n
1
a22
..
.
···
..
.
···
a2n
..
.
0
..
.
an2
ann
0
1
..
.
0 ···
···
..
.
..
.
0

0
.. 
. 


0 
1
に行基本変形を上手く施すことにより



(E | B) := 


1
0
0
..
.
1
..
.
0 ···

···
..
.
..
.
0
b11

 b21

という形に変形できるとき，行列 B =  .
 ..

bn1
b11
b12
···
b1n
0
1
b21
..
.
b22
..
.
b2n
..
.
bn1
bn2
b12
···
b1n
···
..
.
···

b22
..
.
···
..
.
bn2
···
0
..
.






bnn

b2n 

は A の逆行列になる．このよ
.. 
. 

bnn
うな形に変形することが不可能なとき，行列 A には逆行列が存在しない．
黒板発表用問題
1. (1) どの様な m × n 行列 A に対しても Pij A が A の第 i 行と第 j 行を入れ替たものになるよ
うな，m 次正方行列 Pij を求めよ．ただし，i 6= j とする．また，この Pij の逆行列を求めよ．
(2) どの様な m × n 行列 A に対しても Pi (c)A が A の第 i 行を c 倍したものになるような，m
次正方行列 Pi (c) を求めよ．ただし，c 6= 0 とする．また，この Pi (c) の逆行列を求めよ．
(3) どの様な m × n 行列 A に対しても Pij (c)A が A の第 i 行に第 j 行の c 倍を加えたものに
なるような，m 次正方行列 Pij (c) を求めよ．ただし，i 6= j, c 6= 0 とする．また，この Pij (c)
の逆行列を求めよ．
2. 掃き出し法を用いて次の連立 1 次方程式を解け．ただし，解がないときは解なしとし，解がある
ときは解をすべて求めよ．


3x1 + 4x2 = 2


 x1 + 2x2 = 3
(1)

 x1 − 3x2 = 5


x1 + x2 + x3 = 6



(3) 2x1 − x2 + 3x3 = 9




3x1 + 2x2 − x3 = 4


x + 2x2 + 3x3 = 3

 1

(5)
x1 + x2 + x3 = 2




x1 + 5x2 + 9x3 = 6


3x + 6x2 + 21x3 + 9x4 = 24

 1

(7) 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 13




7x1 + 9x2 + 4x3 + x4 = 41


−x1 + 2x2 + x3 − 4x4 = −4



 2x − 3x + x − 2x = −7
1
2
3
4
(9)

x
+
5x
+
4x
−
x

1
2
3
4 = 13



x1 + x2 − x3 − x4 = 0
(2)

2x1 + 4x2 = 6


x1 + x2 + 2x3 = 1



(4) 3x1 + 4x2 + 6x3 = 0




−x1 + 2x2 − x3 = 2


x − x2 + 2x3 = −3

 1

(6)
3x1 + x3 = 4




2x2 − 3x3 = 8


x1 − 2x2 + x3 − 4x4 = 3



(8) −2x1 + 5x2 − 3x3 + 10x4 = −3




3x1 − 7x2 + 4x3 − 14x4 = 0


x1 − x3 + 5x4 − 5x5 = 3



 −x + x + 3x − 8x + 7x = −8
1
2
3
4
5
(10)

2x
−
x
+
x
+
3x
−
7x

1
2
3
4
5 = −4



3x1 − 2x2 + 2x3 + 3x4 − 10x5 = −8
3. 次の行列が定める線形写像の核を求めよ．
(1)
(
1
1
)
0
0
1
1

1 3


(2)  2 6
−2 5

2

3

−2
4. 次の行列の逆行列を求めよ．ただし，a ∈ R とする．




1 −1 −1
1 −3 1





(1) 
(2) 
0
3
−1 1 −1
2

−1 −1 1
−1 1 −2




1
0 −1 0
0 0
0
1




 3 −1 2
0 0
1
1
a




(4) 
(5) 


−2 0 −1 0 
0 1 2a a2 
0
2
0 −1
1 3a 3a2 a3

1

3
(3) 

1
4
2
−1
−6
5
4


8


8 −5 6 
−1 2 13

0

(3) 
0
1
0
1
0

1

0

0

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