力学 II 演義（スタンダード） No.6 (2014 年 6 月 10 日) 提出分小テスト問題：質量 m の質点が x 軸上を運動する問題を考えよう．Lagrangian は ˙ = L(x, x) m 2 x˙ − U(x) 2 と書ける．時刻 ti から tf までの質点の軌道を x(t) とし，作用積分を ∫ tf S= ˙ dt L (x(t), x(t)) ti と定義しよう． (1) 軌道 x(t) をわずかに変形したものを x(t) + δx(t) とする．ただし，時刻 ti と tf における質点の位置は固定されているとして，δx(ti ) = δx(tf ) = 0 とする．この軌道の変化によって生じた作用積分の変化は， ∫ tf δS = ˙ + δx(t)) ˙ ˙ − L (x(t), x(t))} dt {L (x(t) + δx(t), x(t) ti ˙ の一次近似で評価せよ．と書ける．被積分関数を δx(t)，δx(t) (2) 部分積分を使って，作用積分の変化分を， ∫ δS = tf [· · · ] δx(t)dt ti の形に変形せよ． (3) 任意の δx(t) に対して δS = 0 だとすると，[· · · ] の部分は（t の関数として恒等的に）ゼロでなけらばならない．これが Newton 方程式 mx¨ = −dU/dx を導くことを示せ． ———————————————————————– 問題 1（変分の直観的理解）：小テスト問題を別の視点から考察しよう．時刻 t = ti に xi を出発し t = tf に xf に到着する軌道 x(t)（つまり x(t) の関数形）を与えると，作用積分 ∫ S[x(t)] = tf ∫ ˙ L(x(t), x(t))dt = ti t2 t1 [ ] m 2 x˙ − U(x) dt 2 が定まるのであった．このように，作用 S[x(t)] は x(t) の関数形を与えると値が定まるという意味で，関数の関数（汎関数）である．ti から tf までの時間を ∆t = (tf − ti )/M 刻みで区切り，分点となる時刻を tn = ti + n∆t (n = 0, 1, 2, · · · , M) と定めよう．そして，各分点時刻における質点の位置を xn = x(tn ) と書く．x(t) の関数形は各時刻 t = tn で質点が通過する座標 xn = x(tn ) を指定すれば（近似的に）定まるから，S を M − 1 個の変数 x1 , x2 , · · · , xM−1 に依存する（通常の意味の）関数だとみなせる．この (M − 1) 変数関数は，積分を和で近似することにより， ] M [ ( ) ∑ m xn − xn−1 2 − U(xn ) ∆t S(x1 , x2 , · · · , xM−1 ) = 2 ∆t n=1 ˙ n ) を (xn − xn−1 )/∆t で近似した．と表せる．ここで x(t (1) 関数 S(x1 , x2 , · · · , xM−1 ) の全微分 dS を計算せよ． (2) 関数 S(x1 , x2 , · · · , xM−1 ) が極値を取るとき dS = 0 である．∆t−1 dS = 0 に (1) の結果を代入した後， M → ∞ の極限（∆t → 0）を取れ．その結果，Newton の運動方程式が導かれることを示せ．その際， lim ∆t→0 x(tn + ∆t) − 2x(tn ) + x(tn − ∆t) xn+1 − 2xn + xn−1 ¨ n) = lim = x(t ∆t→0 ∆t2 ∆t2 に注意せよ（x¨ = d2 x/dt2 の意味）．この式は x(tn ± ∆t) を Taylor 展開すれば出てくるので各自確認すること．こうして，変分が多変数関数の全微分を拡張した概念であることが分かった．問題 2（最短経路）：二次元平面上の二点 P:(0, 0) と Q:(a, b) を結ぶ最短経路を変分法で求めたい．そのために二点を結ぶ経路を (x, f (x)) (0 ≤ x ≤ a) と表そう．経路の始点と終点が P, Q であるという条件は， f (0) = 0, f (a) = b と表せる．また，経路の長さ L は ∫ a √ L= 0 ( )2 df 1+ dx dx (1) と書ける． (1) f (x) をわずかに δ f (x) へずらしたことによる L の変化を δL とする．δL を δ f (x) の一次近似で評価して， ∫ a δL = [· · · ]δ f (x)dx 0 の形に表せ． (2) f (x) が最短経路を表すときには任意の δ f (x) に対して δL = 0 であり，[· · · ] の部分はゼロでなければならない．このことから f (x) が満たすべき微分方程式を導け． (3) (2) で得た微分方程式を f (0) = 0, f (a) = b の条件の下で解いて， f (x) を決定せよ．問題 3（場の Lagrangian 密度）：弾性体の時刻 t，位置 x における変位（場）を ψ(x, t) とするとき，この力学系の作用は， ∫ S[ψ] = ∫ dt dxL(x, t)  ( )2 ( )2  ∂ψ  1  ∂ψ  L = ρ −κ 2 ∂t ∂x  と書け，L(x, t) を Lagrangian 密度と呼ぶ．ここで空間の座標は，一般化座標としての場 ψ を区別する番号付けのパラメーターに過ぎないことに注意しよう．場の任意の無限小変化を δψ(x, t) とする．ただし，時刻 t = t1 , t2 および x = x1 , x2 では δψ = 0 であるとする．この変化に対する作用の変分がゼロ (δS = 0) という条件から波動方程式が導かれることを示せ．ただし c = √ 1 ∂2 ψ ∂2 ψ = c2 ∂t2 ∂x2 κ/ρ とする．