速度ポテンシャルと流線関数をベクトルで理解する方法三重大学・大学院生物資源学研究科共生環境学専攻地球環境気候学研究室教授立花義裕 C1 渦なし流と速度ポテンシャル C P1 C1 1   U  d r という積分を考える C0 (経路C) C’ C0 2   U  d r C1 (経路C’) C0 P0 この式は平均的にどのような速度なのかを意味する 1   2   U  d r という風に1周して原点に戻ってくる経路で積分してみる CC ' ストークスの定理を用いる  U  d r     U  ndA A 渦なし流であれば    U  0 (渦度の定義) 1   2   U  d r  0 CC ' 渦なし流ならば積分をどのような経路で行っても1周すれば0になる事を意味する 1   2 C0~C1への積分も経路は無関係であることを示す Pという位置のみでの値が決まるこういうものを物理学ではポテンシャルと呼ぶ (以前学んだのは重力ポテンシャル) C1 1   U  d r を微分型で書いてみると‥ C0 d  U  d r と書ける    d  dx  dy  dz    d r x y z 全微分より   d r  U  d r U   と書くことができる！スカラー量であるポテンシャルの分布が分かれば  を計算することにより U が自動的に求まってしまうことを意味する！ の事を速度ポテンシャルと呼ぶ！！渦なし流スカラー量である速度ポテンシャルの値の分布で速度分布を視覚的に表現することができる流線関数速度ポテンシャルの兄弟 2次元流 u, v を考える u  y v  x ベクトル表記をすると‥  となる  のことを流線関数という V  k       k    0 ←速度ベクトルと、は直交する。なぜなら、k  は、 を９０度回すことを意味するから。←等  線と V は平行なので流線関数で表される流れは水平発散しない(速度ポテンシャルとは逆) 渦度をΨのラプラシアンで表すことができる v u      2   2   ( )  ( )  2  2  2 k    x y x y x x y y 流線関数の等値線は流線の方向と等しくなる。その速度の大きさは線の密度に比例する流線関数は流れの回転を視覚的に表す。スカラー量であるΨの分布がわかれば流れの様子がわかってしまう