6/2 配布問題

力学 I 演義（スタンダード） No.7 (2015 年 6 月 9 日提出分)
小テスト問題：二次元平面上を運動する質点（質量 m）の位置を二次元極座標 (r, ϕ) で表す．この質点は
ポテンシャル U(r) が表す保存力を受けながら運動する．初期条件として，(r(t = 0), ϕ(t = 0)) = (r0 , ϕ0 )，
(ṙ(t = 0), ϕ̇(t = 0)) = (ṙ0 , ϕ̇0 ) を与える．
(1) (r, ϕ) を一般化座標として採用し，Lagrangian を書き下せ．
(2) (1) の Lagrangian から Lagrange 方程式を導け．
(3) 循環座標を見い出し，そこから導かれる保存則を書き下せ．
(4) (2) で導いた Lagrange 方程式から循環座標の自由度を消去せよ．
(5) 循環座標の自由度を消去した修正 Lagrangian を作れ．
(6) (5) で導いた修正 Lagrangian から Lagrange 方程式を導け．この方程式と (4) の結果を比較し，両者
が同等であることを示せ．
———————————————————————問題 1（球面振り子）：No. 5 の問題 3 で考えた球面振り子の問題を再度考えよう．初期条件として
(θ(t = 0), ϕ(t = 0)) = (θ0 , ϕ0 )，(θ̇(t = 0), ϕ̇(t = 0)) = (θ̇0 , ϕ̇0 ) を与える．
(1) 循環座標を見出し，そこから導かれる保存則を書き下せ．
(2) 循環座標の自由度を消去した修正 Lagrangian を作れ．
(3) (2) で求めた修正 Lagrangian から Lagrange 方程式を導け．
問題 2（円柱座標）：質量 m の質点が，ポテンシャル U で表される保存力を受けて運動する．この質点の運
動を円柱座標 (r, ϕ, z) を使って表そう（デカルト座標と円柱座標の対応は (x, y, z) = (r cos ϕ, r sin ϕ, z)）．初期
条件として，(r(t = 0), ϕ(t = 0), z(t = 0)) = (r0 , ϕ0 , z0 )，(ṙ(t = 0), ϕ̇(t = 0), ż(t = 0)) = (ṙ0 , ϕ̇0 , ż0 ) を与える．
(1) 一般化座標として円柱座標を採用し，Lagrangian を書き下せ．
(2) (1) の Lagrangian から Lagrange 方程式を導け．
(3) U が r だけの関数だったとする．循環座標を２つ見つけ，そこから導かれる保存則を２つ書き下せ．さ
らに保存量と運動量および角運動量との対応を調べよ．
(4) (2) で導いた Lagrange 方程式から２つの循環座標の自由度を消去せよ．
(5) ２つの循環座標の自由度を消去した修正 Lagrangian を作れ．
(6) (5) で求めた修正 Lagrangian から Lagrange 方程式を導け．この方程式と (4) の結果を比較し，両者
が同等であることを示せ．
問題 3（対称性と保存則）：以下のようなポテンシャル U で表される力場の中を運動する質点を考える．系が
持つ対称性に注目することによって，運動量 p = (px , p y , pz ), 角運動量 L = (Lx , L y , Lz ) のどの成分が保存され
るか考えよ．
(1) U が x のみに依存．
(2) U が x と z のみに依存．
√
(3) U が x2 + y2 と z のみに依存．

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