5/27 配布問題

力学 II 演義（スタンダード） No.5 (2014 年 6 月 3 日提出分)
小テスト問題（振り子）：鉛直方向に a cos Ωt に従って運動する支点から，長さ ℓ の軽くて伸び縮みしない糸
をたらして，その先に質量 m のおもりをぶら下げた．おもりは水平面に垂直な平面内を運動するとし，鉛直
下向きから測ったおもりの振れ角 θ を一般化座標として採用する．以下，重力加速度を g とする．
(1) 運動エネルギー K を一般化座標とその時間微分を使って書き下せ．
(2) 重力ポテンシャル U を一般化座標の関数として表せ．
(3) Lagrangian L = K − U から Lagrange 方程式（θ が従う運動方程式）を導出せよ．
———————————————————————問題 1（極座標と Lagrangian）：保存力場中を運動する質量 m の質点を考えよう．三次元空間を記述する一
般化座標として，三次元極座標 (r, θ, ϕ) を使う．保存力を表すポテンシャルは，極座標の関数として U(r, θ, ϕ)
と表されている．
(1) 微小時間 ∆t の間に r が ∆r，θ が ∆θ，ϕ が ∆ϕ だけそれぞれ変化したとする．この微小時間の間に質
点が移動した距離 ∆ℓ を r, θ, ϕ, ∆r, ∆θ, ∆ϕ のうち必要なものを用いて表せ．
(2) 質点の速さ（速度の大きさ）は v = lim∆t→0 ∆ℓ/∆t と表せる．この事実に注意し，質点の運動エネル
˙ ϕ˙ のうち必要なものを用いて表せ．
˙ θ,
ギー K = mv2 /2 を r, θ, ϕ, r,
(3) 系の Lagrangian は L = K − U と表され，一般化座標 (r, θ, ϕ) に共役な正準運動量はそれぞれ
pr =
∂L
∂L
∂L
, pθ =
, pϕ =
∂r˙
∂θ˙
∂ϕ˙
と定義される．(pr , pθ , pϕ ) の表式を求め，それらの次元を調べよ．
(4) 保存力が中心力ならば（つまり U が r だけの関数だったら）Lagrangian が ϕ に依存しないことを示
せ（この事実を ϕ は循環座標であると言う）．
(5) (4) の結果に注意し，中心力の下での運動では pϕ が保存すること，つまり，p˙ ϕ = 0 を示せ．
問題 2（くさび上の小物体）：No. 3 の問題３で扱ったくさび上の小物体の運動を，もう一度考えてみよう．
すなわち，水平面上にくさび形の台（質量 M）があり，その斜面上にそっと質量 m の小物体をのせたところ，
小物体はくさび上を滑り落ち，くさびも動いた．斜面と水平面のなす角は θ であり，台と水平面，小物体と斜
面の間の摩擦は無視できる．
(1) 水平方向に x 座標を取り，台の重心と質点の座標をそれぞれ X，x とする．重心座標 xG = (MX +
mx)/(M + m) と相対座標 xr = x − X を一般化座標として採用し，系の Lagrangian を書き下せ．
(2) Lagrangian は x˙ G , xr , x˙ r だけの関数で，xG に依存しない（つまり xG は循環座標である）．問題 1 の
(4) と同じように考えると，この事実から導かれる保存量がある．それはどのような量か．
(3) xr についての Lagrange 方程式（xr が従う運動方程式）を導け．
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問題 3（球面振り子）：固定された支点から長さ ℓ の糸を垂らし，その先に小さなおもり（質量 m）を付け
た振り子を考えよう．おもりの運動が平面内に限らないとすると，おもりは支点を中心とする球面上を動く．
従って，おもりの位置は支点を原点とする極座標の角度部分 (θ, ϕ) を使って指定できることになる．これを一
般化座標として採用する．重力加速度を g とする．
(1) Lagrangian を作れ．
(2) Lagrange 方程式（θ, ϕ が従う運動方程式）を導け．
(3) 特に質点の高さが一定 (従って θ が一定) である場合を考えよう．このときおもりが描く軌道は円とな
り「円錐振り子」と呼ばれる．このときの円運動の角速度 ϕ˙ を θ の関数として求めよ．
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