線形数学 II 中間テスト（2014 年 11 月 27 日木曜日） ※ 答案はすべて答案用紙（本紙）内に記入すること（計算用紙は提出せずに持ち帰ること）. ※ スペースが足りない場合は，続きがどこに書いてあるか明記した上で，余白部分に続きを書いてよい. 学籍番号 1 (1) W          (2) W =       氏名点数を Rn の部分集合とする. このとき, W が Rn の部分空間である事の定義を述べよ.    x       3 は R3 の部分空間かどうか調べよ. y  ∈ R sin x + sin y + sin z = 0      z        1   0   3        2 a1 =  0  , a2 =  1  , a3 =  1  とする. このとき，以下の問いに答えよ.       −1 0 −4 (1) a1 , a2 , a3 が 1 次独立であることを 1 次独立であることの定義に従って示しなさい.   x1    (2) 任意の x =  x2  ∈ R3 を a1 , a2 , a3 の 1 次結合として表しなさい.   x3    1 0 2 1     3 1 4 1   を用いて, 線形写像 f : R4 → R4 を f (x) = Ax (但し, x ∈ R4 ) によって定める. 3 行列 A =   2 1 2 0    4 1 6 2 この時, 以下の問いに答えよ. (1) Ker f のひと組の基底と次元を求めよ. (2) Im f のひと組の基底と次元を求めよ. 4 (1) f : Rn → Rm が線形写像であることの定義を述べよ. (2) 線形写像でない写像の例をひとつ挙げよ. また，それが線形写像でない理由を述べよ. (3) f : Rn → Rm に対して, Ker f の定義を述べよ. 5 R3 の部分空間     x1        3   W1 =   x2  ∈ R −x1 + x2 + x3 = 0     x  3 を考える1 . この時, 以下の問いに答えなさい. (1) W1 のひと組の基底と次元を求めよ. (3) W1 ∩ W2 のひと組の基底と次元を求めよ. 1       ,          x1        3   W2 =   x2  ∈ R x1 + x2 + x3 = 0     x  3            (2) W2 のひと組の基底と次元を求めよ. (4) W1 + W2 のひと組の基底と次元を求めよ. W1 , W2 が R3 の部分空間である事は証明せずに用いてよい.