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1. 複素数とは
複素数‥‥ a+bi (a,b は実数)と表される数
(例) 実数は複素数　例えば 3=3+0 i
i は複素数　i=0+1 i ※ i は（実数ではない）1 つの数で， i 2=−1 .
実部と虚部
複素数 α=a+ib に対して　a=Re(α) : α の実部
b=Im（α）: α の虚部
複素平面
実数が数直線上に表されるように，複素数は複素平面上に表される。
虚軸
Im(α)
虚部
・
α=a+bi
・
r cos θ
α=a+bi
r
Re(α)
実部
実軸
r = |α| : 大きさ
θ = arg(α) : 偏角
θ
r cos θ
大きさと偏角
複素数 α = a + b i に対して，原点から α へ線分を引くとき，
線分の長さ r を α の大きさ | α |
実軸から線分へ測った一般角 θ を α の偏角 arg(α)
という。
例題 1.1
複素数 α=1−i
∣α∣=r =√ a 2+b 2
a=r cos θ , b=r sin θ
に対して，Re(α), Im(α), |α|, arg(α)を求めよ。
(解) α=1+(−1)i と考えて，
2
2
Re(α) = 1 , Im(α) = －1 , ∣α∣=√ 1 +(−1) =√ 2 ,
また，偏角 θ = arg(α) は，
7
cos θ=1/ √ 2 , sin θ=−1 / √2 より θ= π
4
※偏角は代表値で答えればよい。
（ +2 k π が省略されていると考える。)
1
－1
共役複素数‥‥虚部の符号のみ異なる複素数
複素数 α=a+b i に対して， α
̄ =a−b i とおき， α の共役複素数という。
α
複素数の加減乗除
例題 1.2
α=1+2 i , β=1−i であるとき， α+β , α−β , α β を計算し，標準形で表せ。
(指針） i の文字式として整理し， i 2 は −1 に置き換える。
(解) α+β = (1+2 i)+(1−i) = 2−i
α−β = (1+2 i)−(1−i) = 3 i
α β = (1+2 i)(1−i) = 1−i+2i−2 i 2 = 1+i+2 = 3+i
例題 1.3
α=1+2 i , β=1−i のとき, α を標準形で表せ。
β
(指針)　分母が実数になるように変形する。
α = 1+2i = (1+2i )(1+i) = −1+3 i
β
1−i
(1−i)(1+i)
2
1
3
標準形では α = − + i
β
2 2
(解)
← 分母の共役複素数を分母と分子にかける
ことにより，分母を実数に変形させた。
例題 1.4
z= x+i y , w=u+i v のとき，つぎの等式を確かめよ。
(1)
z ̄z =∣z∣2
(2) (z w) = ̄z w
̄
(3) ∣z w∣= ∣z∣∣w∣
∣z∣
z
(4) ∣ ∣ =
w
∣w∣
(解) (1) z ̄z = ( x+i y)( x−i y ) = x 2−i 2 y 2 = x 2+ y 2 = ∣z∣2
(2) z w = (x+i y )( u+i v) = x u+i x v+i y u+i 2 y v = ( x u− y v )+i( x v + y u )
2
̄z w
̄ = (x−i y )(u−i v) = x u−i x v−i y u+i y v = ( x u− y v )−i(x v+ y u)
上の２式より ( z w) = ̄z w
̄
(3) (1),(2)の結果を用いると
2
2
∣z w∣2 = ( z w)(z w) = ( z w)(̄z w)
̄ = ( z ̄z )( w w)
̄ =∣z∣ ∣w∣
∣z w∣≥0 , ∣z∣∣w∣≥0 であるから ∣z w∣= ∣z∣∣w∣
∣z∣
z
z
z
(4) (3)より ∣ ∣∣w∣=∣( )w∣ =∣z∣ ゆえに ∣ ∣=
w
w
w
∣w∣
※ (3),(4)は標準形で直接示してもよい。
例題 1.5
つぎの計算をせよ。
(1) ∣( 2+i)2∣
(2) ∣
1+3 i
∣
2−i
(指針)　大きさの性質を利用すると労力が軽減する。
(解) (1) ∣(2+i)2∣ =∣2+i∣2 = 22+12 = 5
∣1+3 i∣ √12+32
1+3 i
∣=
=
= √2
(2) ∣
2−i
∣2−i∣
√ 2 2+12

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