演習問題 - lab.twcu.ac.jp

演習問題
1 年次演習 (数学) (新國担当分)
2015 年 5 月 14 日 (木)
1 以下にあげる写像 fi : R → R (i = 1, 2, 3, 4) が, それぞれ全射か, 単射か, 全単
射であるかどうかを判定せよ.
(1) f1 (x) = 2x − 3
(2) f2 (x) = x2 − x
(3) f3 (x) = x3 − x
(4) f4 (x) = x3
2 集合 A, B に対し, P, P1 , P2 は A の部分集合で, Q は B の部分集合とする. ま
た, f : A → B を写像とする. このとき, 以下の設問に答えよ1 .
(1) f が単射なら, f (P1 ∩ P2 ) = f (P1 ) ∩ f (P2 ) が成り立つことを示せ.
(2) f が単射なら, f (A − P ) = f (A) − f (P ) が成り立つことを示せ.
(3) f が単射なら, f −1 (f (P )) = P が成り立つことを示せ.
(4) f が全射なら, f (f −1 (Q)) = Q が成り立つことを示せ.
3 集合 A, B, C に対し, f : A → B, g : B → C をそれぞれ写像とする. このと
き, 以下の設問に答えよ.
(1) f と g がともに全射なら, 合成写像 g ◦ f : A → C も全射であることを示せ.
(2) f と g がともに単射なら, 合成写像 g ◦ f : A → C も単射であることを示せ.
4 集合 A, B に対し, f : A → B を写像とする. このとき, 以下の設問に答えよ.
(1) ある写像 g : B → A が存在して g ◦ f = idA が成り立つならば, f は単射で
あることを示せ.
(2) ある写像 g : B → A が存在して f ◦ g = idB が成り立つならば, f は全射で
あることを示せ.
1.4.4 の (3) f (P1 ∩ P2 ) ⊂ f (P1 ) ∩ f (P2 ), (4) f (A − P ) ⊃ f (A) − f (P ), (9) f −1 (f (P )) ⊃ P , (10)
)
f
(Q) ⊂ Q を思い出そう. 5 月 14 日 (木) の演習問題 3 によって, これらはいずれも一般には等号は成り立たな
いのであるが, f が単射ならば (3), (4), (9) において, 一方, f が全射ならば (10) において, それぞれ等号が成り立つこと
を確認せよという問題である.
(
1 定理
f −1

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