早 複素数 による交流の計算 虚数と複素数 皆 さんは ,数 学で 「虚数」 というもの を聞いたことがあると思 い ます。虚数 は2乗 して-1に なる数で ,記 号′ で表 しました.方 程式 を解 いてルー トの 中身 が負 になった時 ,「 虚根」 というように習 いました . 「負の数の平方根をとる」 ということは ,「 2乗 した数 が負 になるよ うな数」 を意味 します。例えば ,-1の 平方根 をとるとい うのは , 両辺を二乗する 1 ′ ギ i2:-1 ということで ,こ れを満たすゴ は存在 しません.現 実 には存在 しない数を想定 した ものです (jは J“ agJ“ αり bι rの 略). “““ 数学では ,虚 数を「′ 」で表 しましたが ,電 気の世界では「電流」 と間違える ので「 を用います。ここで,虚 数プは Ji」 , 卜√ T と定めます 2=_1 ノ ― . 複素数 次のような実数と虚数を使った式の表現を「複素数」といいます。 b … … … … … … ……… … ……… そ=θ 十ブ …… … (14.1)式 αを 「実部」といい,ノ bを「虚部」といいます。また,(14.1)式 の虚部の符号 を変えたもの「αニル」を 「共役(き ょうえき)な 複素数」といい,7(ゼ ットバー)で 表 します . 7=α Jib… … …… … … … … … … … … ……(14.1)式 の共役な複素数 複素数の 計算は ,今 まで習った χや ッの入 った計算 の仕方で ,だ いたい計算 できます .あ まり特別な もの と意識 しな くて もよ さそうです。習 うより慣れ ろ です。実際 に例題 をみてみ ましょう。 l竺 ― 蓄 ―― ― ― ― ― ・ 次 の複素数 を計算 しましょう . i4)十 (3+ブ )= (2■」 <解 答 > 実部 どうし,虚 部 どうしをそれぞれ計算 します . i)=(2+3)十 ノ(4+1)=5+ノ 5 (2+li4)+(3■ 」 複素数z=2+β を使って次の計算をしましょう。 ZZ== <解 答 > 万はzの 共役な複素数 です か ら z万 =(2句 3)0司 3) 3) =(2× 2)― (2× メ)+03× 2)-03×プ 6-(-1× 9) =4丁 十ノ =4+9=13 “ つ まり , (α 十ル)(α Tル )=α とい うことです . 2+ら 2 複素 数 によ る交流 の計算 となります。 ガウス平面 (複 素平面) Z=α 十ル をグラフ化 してみましょう.図 14.1の ように,複 素数の実部を横 (X)軸 にとり,虚 部を縦 (y)軸 にとります . このようなグラフを 「ガウス平面」または,「 複素平面」といいます。α十ル は ガウス平面の点(α ,b)と 対応 していることが分か ります。 γ(虚 )軸 b) Za■ Jb ] 軸 実 ０百 Ｘ θ=ta百 図14.1ガ ウ ス平面 X軸 は実 部なので「実軸」 と呼び ,11噛 は虚 部なので「虚軸」 といいます . グ ラフ化 してみ ると ,そ は ,大 きさと方向 (角 度 θ)を 持 つベ ク トルに なっ ています。つ まり複素数でベ ク トル を表す ことがで きるのです。 b を=α 十′ ベクトルを の大きさzは ,絶 対値をいい,三 平方の定理で求めます。 =z=/α 2+b2 ￨を また ,実 軸 (χ 軸 )と の角度θは 一 とな ります ら 一α θ=tan . >ガ ウス平面 (複 素平面 ) , 「Jま たは 「― けてみよう 複素数に Jを か 例えば複素数z=α 句 らに,虚 数町」または,「 Tブ 」をかけると,ど のように変 化するのでしょうか。まずは町」をかけてみましょう . 2b ブ2 Jittf」 ib)Jiaヵ … … …… 町鈍=ヽ2=_1で すJ Jiα +(-1)b… とな り ,実 数 だ っ たθは虚 数 に ,ま た ,虚 数 だ っ たらは実数 にな りま したね . 次に,Tプ をかけると , iZ=→ し七 b) 」 2=1で す」 =Tノαttb・ ……………「Ji× Ji==ノ =b=ブ α となりますね。 これらの変化をガウス(複 素)平 面に描 いたのが ,図 14.2(a) です . Z a十 ノ b JZ b ra ￨ ノ をかける 一Y (a)Z,ノ 乙 図14.2 JZO大 きさと角度 z,″ ,― クの関係 そ 畳型η 警量 Ⅲ型ぢ 璧型 複素数 によ る交 流 の計算 α =― b十ノ (b)角 度関係 図14.2(b)ろ ぁ ―クの関係 図の (b)は ,3つ のベ ク トルの角度の関係 を見やす く抜 き出 した図です。 (b) の 角 度関 ルは 係を 見ると,3つ のベクト 互いに と れがあるこ ,[rad](90° )の ず に気 が付 きます . さ にを かけると ら かけると 逆に ,=ノ を る ,[rad](90° )進 み ,[rad]遅 れ ,プ ことに も気が付 きますね19 をかける→音(00° )遭 む ′ ― ける→舌(90° )運 れる Jを か これは非常に重要なことです.必 ず覚えて ください ° 9:オ イラーの公式などによりII明 する専門書が多 いです . 複素数を使つた交流回路の計算 図 14.3は ,RLC直 列回路 に ,交 流電源 `[V]を つ ないだ回路です . 複素数 による交 流 の計算 枷 枷 則 鋼 ｍ ・ (a)Rι O直 列 回路 i:'ir.s+vt+Vc :ZI X:Xt-Xa:uL' 1 --^ utJ .t1\ RIiluL__=l :, '\ vR Z: o)vt I(基 準 ) ル関係 (b)ベ クト 図14.3 複素数 で交流 を表 す 各素子 の端子電圧 yR,yι ,vcの 大 きさyR,VL,ycは , L=JR[V]・ ……………電流 fと 同相 ・ より 電流′ t=XLf=df… ……… ,進 む 複素数 を使 った交流回路の計算 く yc=xcr=」 ・ 電 流fよ り ダ………… ,遅 れ これ らをベ ク トル として複素数 で表す と , VR=RI… ¨………… …………………………………………………… (14.2)式 (電 流′と同相なので変化なし ) yL 」 ixLf〒 ″製7… …………………… ……… ……… …¨ … (14.3)式 の でいる 進ん ける 縄流fよ り oを か ,だ け … …………………… (И .の 式 ち一ゾcf=→ 嘉′ のでづを かける より 帽流′ 遅れている ,だ け ) ) と表 しま .γ っ '日 路全体の電圧yは ,各 端子電圧の和なので す 下 , y=yRttyι +yc =R′ 七d′ →滞f =(R七 配づ滞 )ノ ……………………(И ."式 となります。また,イ ンピーダンスZ[Ω 2=R七 配づ +[Ω =R力 (正 ]は y=zIな ので ,(14.5)式 より , ] ………………(140式 一 +)… ……… となりますね。インピーダンス2の 大きさZは ,絶 対値ですから,図 のように 三 平方 の 定理 を用 い , z=/R2+(正 _召 となります . 号 ア [Ω ] 図 14.3の 回路 で ,抵 抗R=10[Ω ],誘 導 リアクタンス礼 =10・ 6[Ω ], 容量 リアクタンス為 =6[Ω ]で した。電圧 y=100[V]の 時 ,電 流 f[A]と 大 きさf[A]を 求 めま しょう。 く解 答 > y=fZを 使 い ます .ま ず ,(14.6)式 か ら ,イ ン ピー ダ ンスZ[Ω の めまし 大きさ う 江=χレ召 ょ 。 4Ω ]を 求 讐=Xcよ り ]と そ , 121=z=/1o2+4.62≒ 11[Ω ] ] 次に,電 流′[A]と 大きさf[A]を 求めます。 分母 のプをな くす た めに ,分 母 。分子 に 共役な複素数 をかけ る … … ′ =チ =而 岩 雨 結 愕 器 躙讐毎丁 =￢ = 1000-T′ 460== 1000 /460 102_卜 462 121.16 =121.16 J121.16=8.25Tノ 3.8[A] 従 って ,電 流 の 大 き さfは , =′ =/8.252+3.82≒ 9.1[A] ￨′ となります ,二 平 方 の 定理 よ り . _型 1壇 〕 ゛ 笠 1 複素 数 による交流 の計算 Z=10+ノ (10.6-6)=10+ブ 4.6[Ω
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