解析 I 演習問題 2014-7
問題 0. 所属・学年・番号，氏名
問題 1. 扇形において，弧 PP′ と弧 QQ′ の長さをそれぞれ ℓ1 , ℓ2 とし，a =
PQ = P′ Q′ とする．このとき，弧 PP′ と弧 QQ′ ではさまれる部分の面積 S は，
S=
1
a (ℓ1 + ℓ2 )
2
で与えられることを示せ．
問題 2. 次の問いに答えよ．
(1) 1 辺の長さが a の正方形を底面とし，高さが h の正 4 角錐の体積 V は，
V = 13 a2 h で与えられることを示せ．
(2) 半径 r の球体の体積を求めよ．
x2 y 2
(3) 楕円 2 + 2 = 1 (a, b > 0) を x 軸のまわり回転してできる回転体の体
a
b
積 V を求めよ．
問題 3. 線分 y = ax + b (α ≤ x ≤ β) をを x 軸のまわりに回転してできる回転
面の側面積を求めよ．
問題 4. 半径 r の球面の面積（=球体の表面積）が 4πr2 で与えられることを
示せ．
1
ex + e−x
(a ≤ x ≤ b) を x 軸のまわりに回転して
2
できる回転面の側面積を求めよ．
問題 5. 懸垂線 y = cosh x =
問題 6. 次の広義積分を求めよ．
∫ 1
1
(1) 実数 α > 0 に対して，
dx.
α
0 x
∫ ∞
1
(2)
dx.
x3
1
∫ ∞
1
(3) 実数 α > 0 に対して，
dx.
xα
1
∫ ∞
(4)
e−3x dx.
∫0 ∞
1
(5)
dx.
2
1
+
x
0
∫ 1
1
√
(6)
dx.
1 − x2
0
2

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