統計的システム論 (平成 27 年度前期) 試験問題

統計的システム論 (平成 27 年度前期) 試験問題
以下の問題に答えよ．ただし，解答用紙は各問題につき 1 枚使用すること．
問題 1. 確率変数 θ に関する N 個の観測値を yi , i = 1, . . . , N とする．θ
の先験的確率密度関数と尤度関数がそれぞれ
{
}
(θ − θ̄)2
1
exp −
pa (θ) = √
,
2σa2
2πσa2
}
{
N
N
∏
∏
1
(yi − θ)2
√
p(y|θ) =
p(yi |θ) =
exp −
2σ 2
2πσ 2
i=1
i=1
で与えられるとき，条件付き確率密度関数 p(θ|y) を求めよ．
問題 2. 確率変数 θ に関する観測 y ∈ RN に対して，f (y) によって θ の
推定値を与える．損失関数を L = {θ − f (y)}2 としたとき，条件付きベイ
ズリスク，すなわち E{L|y} を最小にする f (y) が，y に関する θ の条件
付き期待値 E{θ|y} で与えられることを示せ．
問題 3. 観測データの確率変数を y1 , · · · , yT ，未知の興味のある確率変数
を x1 , · · · , xT としたとき，それらの同時分布の密度関数が
p(y1 , · · · , yT , x1 , · · · , xT ) =
T
∏
p(yt |xt )p(xt |xt−1 )
t=1
で与えられることを示せ．ただし，p(yt |y1 , · · · , yt−1 , x1 , · · · , xt ) = p(yt |xt )，
および，p(xt |y1 , · · · , yt−1 , x1 , · · · , xt−1 ) = p(xt |xt−1 ) が成り立つものと
し，表記上，p(x1 |x0 ) は p(x1 ) を意味するものとする．
|=
|=
|= |=
|=
問題 4. 全ての，x，y，z の値について，p(x, y|z) = p(x|z)p(y|z) が成り
立つとき，x，y は z を与えた下で条件付き独立といい x
y| z と書く．
条件付き独立に関する以下の性質を示せ．
y| z のとき，p(x, y, z) = p(x, z)p(y, z)/p(z)．
(i) x
y| z のとき，p(x|y, z) = p(x|z)．
(ii) x
(iii) x
y| z かつ x
z| y のとき，x と (y, z) が独立．
以上

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