提出期限：2014 年 12 月 11 日
年・組・番号
学生番号
氏名
1 経済数学 (2) HW (4) : 固有値と固有ベクトル
講義用 Web site の「行列と行列式」
（第 1 章）を利用する（「教材・参考文献」
「線形代数」と辿る）．
(
)( ) (
)( ) (
)( )
1 −1
4
2 1
−1
0 a
−b
(1) (p. 4, 問 1)
，
，
を求めよ．
2 3
2
−1 2
2
−a 0
b
(
)( ) ( )
−3 2
x
−1
(2) (p. 6, 問 2)
=
を普通の連立方程式の形に書け．
5 3
y
2
(3) (p. 10, 問 4) 任意の X に対して AX = XA となる行列 A を求めよ．ヒント：A =
X1 =
(
0
1
)
(
)
0
0 1
，X2 =
として条件 AX = XA を成分で表す．
0
0 0
(
)
a b
，
c d
(
)
(
)
(
)
0 1
a11 a12
a
a
22
21
(4) (p. 18, 問 7) P =
のとき，P
P −1 =
となることを示せ．
1 0
a21 a22
a11 a11
(5) (p. 25, 問 9) 2 つの複素数 z, w に対して以下の式が成り立つことを示せ．
z z¯ = |z|2 ,
|zw| = |z||w|,
|z + w| ≤ |z| + |w|,
|z + w|2 ≤ 2(|z|2 + |w|2 )
(
)2 (
)(
)
√
i 0
i+1
i
i
2−i
(6) (p. 26, 問 11) i = −1 とする．
，
を計算せよ．
0 −i
−i 1 − i
1 + 2i −i
(
(7) (p. 36, 問 12) 次の行列の固有値を求めよ．A =
1
)
(
)
1 2
0 1
，B =
2 1
1 0
(
(8) (p. 40, 問 13) A =
1 2
4 3
)
に対して An を求めよ．
(9) (p. 46, 演習問題 1.4) A + B = I, AB = 0 を満たす正方行列に対して，次の関係を示せ．
A = A2 , B = B 2 ,BA = 0, A2 + B 2 = I, A4 + B 4 = I
(10) (p. 46, 演習問題 1.7) a1 x + b1 y + c1 z = 0, a2 x + b2 y + c2 z = 0 を満たす x, y, z について次の等
b c −1
c a −1
a b −1
1 1
1 1
1 1
式を示せ（行列式はゼロでないとする）．x · =y·
=z·
b2 c2 c2 a2 a2 b2 (
)
1 1
(11) (p. 46, 演習問題 1.9) 行列 A =
について Sn = A + A2 + . . . + An を求めよ．
0 1
(12) (p. 47,
A について P −1 AP が対角行列となるような P を求めよ．
( 演習問題
) 1.11)( 次の行列
)
−4 15
2 1
A=
,A=
−2 7
3 4
(13) (p.
演習問題( 1.11) )
次の行列 A について固有値と対応する固有ベクトルを求めよ．A =
( 47, )
1 2
3 −1
,A=
−1 4
2 0
2