2015 年 7 月 16 日 (木) 配布 [email protected] 代数学 I・演習（翁先生担当分）演習問題 13（最終回）演習担当：横山俊一（九大数理）キーワード多項式の既約性判定（Eisenstein の判定条件），有限体演習問題の配布は今回が最後です．今学期間のご愛顧有難うございました．＊＊＊ 13-1. x3 − 6x + 3 は Q 上既約であることを示しなさい． 13-2. x4 − x − 3 は Q 上既約であることを示しなさい． 13-3. x4 + 1 は Q 上既約であることを示しなさい． 13-4. p を奇素数（3 以上の素数）とする．このとき，多項式 f (x) = xp−1 − xp−2 + xp−3 − · · · − x + 1 は Q 上既約であることを示しなさい． 13-5. x20150000723 + 1 の Q 上での因数分解を与えなさい．但し 20150000723 は素数である． 13-6. a ∈ Z（a ̸= 0）に対して，x4 − ax − 1 は Q 上既約であることを示しなさい． 13-7. a ∈ Z に対して，x5 − ax − 1 が Q 上可約（既約でない）となるような a を全て挙げなさい．またそれらの a に対して，この多項式を因数分解しなさい． 13-8. x5 − x2 + 1 は F2 上既約であることを示しなさい． 13-9. x6 + x5 + x3 + x2 + 1 は F2 上既約であることを示しなさい． 13-10. p1 , · · · , pr を相異なる素数とし m ∈ N≥2 とする．このとき √ p1 · · · pr が無理数となることを m Eisenstein の判定条件を用いて示しなさい． 13-11. f ∈ Z[x] に対し，f の最高次の係数が 1 であるとき f をモニック多項式 monic polynomial と呼ぶ．モニック多項式の根となるような複素数のことを代数的整数 algebraic integer と呼ぶ．代数的整数全体を I と書く．このとき I ∩ Q = Z を示しなさい． 13-12. やや難（イ） α = 以下の条件を満たす f ∈ Q[x] が存在することを示しなさい． ∑ 2≤k≤10 √ 3 k に対して f (α) = 0，（ロ） f の次数は 100 以下． 1