演習問題(Part 1)

追記：ウェブサイト用に，ヒント・略解は削っています．
線形代数学続論（2013 年度前期）
演習問題（Part I: 複素正方行列に関する一般固有空間と Jordan 標準形）
1
(1) A ∈ Mn (C) とする．k を正の整数とし，v ∈ Cn は，Ak−1 v 6= 0, Ak v = 0 を満たすとする．この
とき，k 個のベクトル v, Av, . . . , Ak−1 v は一次独立であることを示せ．
(2) N ∈ Mn (C) に対して，N がべき零（nilpotent）とは，ある正の整数 ` が存在して，N ` = O とな
ることである．N ∈ Mn (C) がべき零のとき，N n = O であることを示せ．
2
a, b, c を複素数とする．次の 3 次複素正方行列 A の Jordan 標準形がどうなるか調べよ．（P −1 AP が
Jordan 標準形となる正則行列 P を求める必要はない．）


1 a b
A = 0 1 c 
0 0 2
3
次の 4 次複素正方行列 A の Jordan 標準形を求めよ．P −1 AP が Jordan 標準形となる正則行列 P も一
つ求めよ．

−4 −1 −5
1
1
1

2
2
3
−2 −1 −2

3
0
A=
−1
1
4
A ∈ Mn (C) は，ある正の整数 ` があって，A` = En になるとする．このとき，A は対角化可能な行列で
あることを示せ．
5
A ∈ Mn (C) の Jordan 標準形は，Jordan 細胞の並び替えの違いを除いて，A から一意的に定まること
を示せ．
6
V は C 上の有限ベクトル空間とし，f : V → V は線形写像とする．W は f (W ) ⊆ W をみたす V の部
分空間とし，g = f |W : W → W とおく．V の適当な基底が存在して，その基底に関する f の行列表示
が対角行列になるとする．このとき，W の適当な基底が存在して，その基底に関する g の行列表示が対
角行列になることを示せ．
7
A, B ∈ Mn (C) はいずれも対角化可能な行列とする．このとき，AB = BA ならば，ある正則行列 P が
存在して，P −1 AP, P −1 BP は同時に対角行列になることを示せ．
8
ある正則行列 P が存在して，Y = P −1 XP となるとき，X, Y ∈ Mn (C) は相似であるという．任意の
A ∈ Mn (C) に対して，A と tA は相似か?
1
A ∈ Mn (C) とする．A の固有多項式を
9
FA (X) = (X − α1 )e1 (X − α2 )e2 · · · (X − αt )et
（α1 , α2 , . . . , αt は相異なる複素数，e1 , e2 , . . . , et は 1 以上の整数）と表す．
(1) V (αi ) = {x ∈ Cn | (A − αi E)ei x = 0} とおくとき，Cn = V (α1 ) ⊕ V (α2 ) ⊕ · · · ⊕ V (αt ) を示せ．
(2) dim V (αi ) = ei を示せ．
(3) A の最小多項式を，ϕA (X) = (X − α1 )m1 (X − α2 )m2 · · · (X − αt )mt と表すとき，
mi = min{m ∈ N | (A − αi E)m x = 0
for any x ∈ V (αi )}
であることを示せ．
10
∗
A は n 次複素正方行列とする．次の条件をみたす n 次複素正方行列 S と N が A からただ一つ定まる
ことを示せ．
(i) A = S + N ．
(ii) S は対角化可能，N はべき零行列で，SN = N S をみたす．
この分解 A = S + N を A の Jordan 分解という．
11
∗
この問題では，実行列を考える．
{
}
SO(n) := A ∈ Mn (R) | tAA = E, det(A) = 1
を，n 次特殊直交群という．また，
o(n) := {X ∈ Mn (R) | 任意の t ∈ R に対して，exp(tX) ∈ SO(n)}
とおく（o(n) は SO(n) の Lie 環とよばれる）．
(1) exp(t tX) exp(tX) = E が，任意の t ∈ R に対して成り立ったとすると，両辺を t について微分
して，
(t
)
X exp(t tX) exp(tX) + exp(t tX) (X exp(tX)) = O
を示せ．さらに，t = 0 を代入することで，tX + X = O（つまり X は交代行列）となることを示せ．
(2) o(n) = {X ∈ Mn (R) | tX + X = O} を示せ．（(1) より ⊆ は示したので，⊇ を示す．すなわち，X
を交代行列とするとき，任意の t ∈ R に対して exp(tX) ∈ SO(n) となることを示す．）
(3) SO(n) について，指数写像 exp : o(n) → SO(n), X 7→ exp(X) は全射であることを示せ．
2

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