課題のドキュメント

円周率物語
目
次
今日は次のような内容でお話しします。
• 何桁言えるかな？
• 近似分数
• 幾何学的に近似値を求める方法
• 逆三角関数を用いた公式
• その他の公式
• シャンクスの挑戦
• ゼータ関数との関係
何桁言えるかな？
小数点以下100桁は
3.14159265358979323846264338327950288419716939937
510
5820974944592307816406286208998628034825342117067
9…
近似分数
円周率を近似する分数としては、以下のようなものが知
られています：
22
= 3.14285714 …
7
355
= 3.14159292 …
113
104348
=3.14159265...
33215
幾何学的に近似値を求める方法
円に内接する正多角形の周の長さを測ると近似値が求まります。
 正6角形で 3
 正12角形で 3.105828...
 正24角形で 3.132628...
 正48角形で 3.139350...
逆三角関数を用いた公式その１
tan(x) の逆関数を arctan(x) と表すとき、
π = 4 × arctan(1)
であることと、arctan(x) の展開式
arctan 𝑥 =
𝑥
1
𝑥3
−
3
𝑥5
+
5
𝑥7
−
7
+⋯
を用いると
π = 4 × 1−
1
1
1
+ − +
3
5
7
⋯
となります。これをライプニッツの公式といいま
逆三角関数を用いた公式その２
tan(α) =
1
2
, tan(β) =
1
3
のとき、加法公式から
tan(α+β) =
tan α + tan(β)
1 − tan α × tan(β)
=1
となりますので
π = 4 × arctan
1
2
+ arctan
1
3
と書けます。ライプニッツの公式と同じように arctan(x) の展開式を用いる
と次の公式が得られます：
π=4×
1
2
−
1
3×23
+
1
5×25
−
1
7×27
+⋯
+
1
1
−
3
3×33
となります。これをオイラーの公式といいます。
+
1
5×35
−
1
7×37
+⋯
逆三角関数を用いた公式その３
同じ考え方でいろいろな公式が作られました：
• クラウゼンの公式
π = 4 × 2 × arctan
1
3
+ arctan
1
7
− arctan
1
239
• マチンの公式
π = 4 × 4 × arctan
1
5
• ガウスの公式
π = 4 × 12 × arctan
1
18
+ 8 × arctan
1
57
−5 × arctan
1
239
その他の公式
無限積の形で書く公式もあります：
• ウォリスの公式
π=2×
2×2×4×4×6×6×⋯
1×3×3×5×5×7×⋯
インドの天才数学者ラマヌジャンは次のような公式も得ていま
す：
• ラマヌジャンの公式
1
8
=
π
992
∞
4𝑛 !
4𝑛 × 𝑛!
4
1103 + 26390𝑛
×
994𝑛
シャンクスの挑戦
• 19世紀の数学者シャンクスは生涯をかけて円周率を小
数点以下707桁求めました。その偉業を後世に伝える
ため、自分のお墓にその数字を刻みました。
• しかーし、コンピュータが発明され、円周率の計算が
容易になると、その数字の528桁目に間違いが見つ
かってしまいました。
ゼータ関数との関係
• オイラー先生は次の公式を見つけました：
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+⋯ =
𝜋2
6
これはリーマンのゼータ関数
ζ s =
1
1𝑠
+
1
2𝑠
1
+ 𝑠
3
+
1
4𝑠
+⋯
という関数の s = 2 での値が円周率で表されるという公式です。
• リーマンのゼータ関数は素数の情報をすべて含んでいる関数で
あると信じられています。このゼータ関数についての予想が世
紀の未解決問題「リーマン予想」です。
参考文献
• ペートル・ベックマン著、田尾陽一・清水韶光訳、𝜋
の歴史 (ちくま学芸文庫)
• 一松信著、数のエッセイ (ちくま学芸文庫)
• Ke!san 生活や実務に役立つ高精度計算サイト
http://keisan.casio.jp/exec/system/1259062
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ご清聴ありがとうございました。

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