ランダムエフェクトパラレルプロファイルモデルにおける共分散構造に関す
る尤度比検定統計量の漸近展開
広島大学
稲津
佑
次のようなパラレルプロファイルモデルを考える.
(g)
xj
∼ Np (µ(g) , Σ), µ(g) = δg 1p + µ, δk = 0, (g = 1, . . . , k, j = 1, . . . , Ng ).
(g)
このとき, ランダムエフェクト uj
(g)
0, σ 2 > 0 を用いて, xj
(g)
∼ N(0, λ2 ) と誤差分布 ej
(g)
(g)
= (δg + uj )1p + µ + ej
(g)
(g)
∼ Np (0p , σ 2 Ip ), 但し, uj ⊥
⊥ ej , λ2 ≥
と表すと, Σ は, Σ = λ2 1p 1′p + σ 2 Ip と表せる.
ここで, 共分散構造に関して, 次のような仮説を考える.
H0 : Σ = λ2 1p 1′p + σ 2 Ip v.s. H1 : Σ > O.
今, 行列 St , Sw を
St =
Ng
Ng
k ∑
k ∑
∑
∑
(g)
(g)
(g)
(g)
¯ j − x)
¯ ′ , Sw =
¯ (g) )(xj − x
¯ (g) )′ ,
(xj − x)(x
(xj − x
g=1 j=1
g=1 j=1
とすれば, この仮説を検定するための尤度比検定統計量 −2 log Λ は, 次のようになる (Yokoyama (1995),
AISM ).
{
−2 log Λ1
−2 log Λ =
−2 log Λ2
if s1 /f1 ≥ s2 /f2
.
if s1 /f1 < s2 /f2
ただし, f1 = N = N1 + · · · + Nk , f2 = N (p − 1) であり, Λ1 , Λ2 は,
)f1 /2 ( )f1 /2 1 f1 /2
1 f1 /2
s3
S
f1 S4 f1
f1 4 Λ1 = ( )f /2 ( )f /2 , Λ2 = (
,
)
(f1 +f2 )/2
1
2
(
s3
f1
s1
f1
s2
f2
s1 +s2
f1 +f2
−1
であり, s1 = p−1 1′p Sw 1p , s2 = trSt − p−1 1′p St 1p , s3 = (p−1 1′p Sw
1p )−1 , |S4 | = p−1 1′p St−1 1p |St | で
ある.
本発表では, −2 log Λ の分布関数の漸近展開公式について述べる. ベータ分布の性質, 特性関数の反転公式
および独立確率変数の和の分布に関するたたみこみの性質を利用することにより, 以下の漸近展開公式を得る.
P(−2 log Λ ≤ a) = Gf (a) + N −1 M {Gf +2 (a) − Gf (a)} + O(N −2 ),
(if λ2 > 0),
P(−2 log Λ ≤ a) = 0.5{Gf (a) + Gf +1 (a)} + N −1/2 A1 {Gf +2 (a) − Gf (a)} + N −1 A2 {Gf +2 (a) − Gf (a)}
+ N −1 A3 {Gf +3 (a) − Gf +1 (a)} + O(N −3/2 ),
(if λ2 = 0).
ただし, f = (p2 + p − 4)/2, Gs (a) は自由度 s のカイ二乗分布の分布関数であり, M, A1 , A2 , A3 はそれぞれ
(p − 1)2 + 2(p − 1)(k + 1) (p − 2)(p − 1)(2p + 9) (p − 2)(4p − 3)
+
+
,
4
24
6(p − 1)
3k(p − 1) − p − 1
3k 2 (p − 1)2 + 5p2 − 2p − 1
M
√
A1 =
, A3 =
+ A2 ,
, A2 =
2
24p(p − 1)
6 πp(p − 1)
M=
となる.
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