不確実性(2) 保険と資産選択

「初級ミクロ経済学 3」（宮澤和俊）
第 21 講
2014/12/26
不確実性 (2) 保険と資産選択
2 つの状態 (state) があり，確率 α で状態 1 が，確率 (1 − α) で状態 2 が実現
する．状態 1 における所得を x1 ，状態 2 における所得を x2 とし，所得 x か
ら得られる効用を U (x) とすると，期待効用は次式で表される．
EU = αU (x1 ) + (1 − α)U (x2 )
(1)
1. 計算による理解
例題 1 （損害保険）
資産 W を持つ個人がいる．災害が発生する確率を α，発生しない確率を
(1 − α) とする．災害が発生すると資産はゼロ．発生しなければ資産は W のま
ま．ただし，次のような損害保険を利用できるとする．災害が発生したら保険
金 D をもらえる．災害が発生しなかったときは保険料 pD を払う (0 < p < 1)．
個人の効用関数が U (x) = log x のとき，この個人にとっての最適な保険金 D
を求めよ．
（解答）各状態における資産は，
(x1 , x2 ) = (0 + D, W − pD)
(1) 式に代入すると，期待効用は D の関数となる．
EU = α log D + (1 − α) log(W − pD)
D で微分すると，
α
(1 − α)p
−
D W − pD
となる1 ．これより，最適な保険金は，
α
D∗ = W
p
EU 0 =
(2)
である（問題 1 (2) 式を導出せよ）．
保険会社の期待収益は，π = (1 − α)pD + α(−D) である．保険市場が完全
競争的であるとすると，保険料率は，
p∗ =
α
1−α
(3)
となる．(2), (3) 式より，保険があるときの各状況における資産は，
x∗1 = x∗2 = (1 − α)W
(4)
となる（問題 2 (4) 式を導出せよ）．
（保険数理的に）公平な保険ならば，個
人はどちらの状態でも同じ資産になるように保険に加入する．完全加入とい
う．問題もあるが対策もある2 ．
= x1 , (log f (x))0 = f 0 (x)/f (x)
2 モラルハザードと逆選択を参照せよ．
1 (log x)0
を用いた．
1
例題 2 （資産選択（ポートフォリオ））
100 万円の資産の運用を考える．安全資産（貨幣）と危険資産がある．安全
資産の金利はゼロ．危険資産は，確率 α で投資額の 2 倍になり，確率 (1 − α)
で投資額の半分になるとする．個人の効用関数が U (x) = log x のとき，この
個人にとっての最適な資産選択を求めよ．
（解答）安全資産に m，危険資産に (100 − m) だけ投資するとする．各状態
における資産は，
x1 = m + 2(100 − m) = 200 − m
x2 = m + 0.5(100 − m) = 50 + 0.5m
(1) 式に代入すると，期待効用は m の関数となる．
EU = α log(200 − m) + (1 − α) log(50 + 0.5m)
期待効用が最大となるのは，
m∗ = 200 − 300α
(5)
のとき（問題 3 (5) 式を導出せよ）．したがって，安全資産に (200 − 300α)
万円，危険資産に (300α − 100) 万円投資すればよい3 ．
2. 図による理解（図 8.5, 図 8.6）
例題 1 では，max αU (x1 ) + (1 − α)U (x2 ) subject to
x2 = W − px1
という問題を解いている．最適化の条件は，
αU 0 (x1 )
=p
(1 − α)U 0 (x2 )
(6)
である．図 8.5 の点 E が均衡．特に (3) 式が成り立つとき，(6) 式より，U 0 (x1 ) =
U 0 (x2 )．これより，x1 = x2 を得る．完全加入は効用関数に依存しない．
例題 2 では，max αU (x1 ) + (1 − α)U (x2 ) subject to
1
x2 = 150 − x1
2
(100 ≤ x1 ≤ 200)
(7)
という問題を解いている（問題 4 (7) 式を導出せよ）．
最適化の条件は，(6) 式で p =
1
2
としたもの．図 8.6 の点 E が均衡．特
に U (x) = log x のとき，(6) 式より，2αx2 = (1 − α)x1 ．これと (7) 式より，
(x1 , x2 ) = (300α, 150 − 150α)．これより m = 200 − 3α を得る．
講義資料
http://www1.doshisha.ac.jp/˜kmiyazaw/
3 借入できないとすると，0
≤ m ≤ 100．したがって， 13 ≤ α ≤
2
2
3
でなければならない．

Download Report