補論 - kamakuranet.ne.jp

2014/4/13
指数関数
補論：
講義を履修する上で必要な数学の確認
青山学院大学
松本茂
• 指数は、といった形で表記される。
• 例えば、1000を10 と書くことを指数標記とよぶ。
• 指数については、以下の関係が満たされる。

10
10
10
10
10
10
10
10
 2
2

10

•
•
•
•
•
•
2
16
対数関数
対数関数
経済学では、しばしば対数を利用する。
8 を満たすを考えると、
3となる。
2
5 となるは幾らだろうか？
それでは、 2
答えは、
log 5 である。
用語：底
つまり、 2
5 となる。
• 一般化すると、
を満たすは、
となる。
log
• 対数については、以下の関係が満たされる。
微分
微分
• 最大化問題や最小化問題を考える場合には、
微分や偏微分が利用される。
• 2変数の関係を調べる時には微分を利用する。
• 例えば、z f
2 という関数で、が微小
に変化した時のzの変化量を調べる場合には、 z
をについて微分した、
3·2
log
log
log
log
log
• 一般的な関数については、以下の様に微分
をすることができる。


6
という関係を利用する。
• 赤の指数部分（3）を前に書き出した後、次元を1
つ（3から2に）下げる。
1
2014/4/13
何故、微分を使うのか
利潤の変化
この関数では、生産量が0から4迄の区間では利潤が
増加し、4で利潤の変化がゼロとなり、4を超えると生産
量が増加するにつれ利潤が低下することとなる。
• 例えば、利潤が生産量の関数として、
24
3 という関数で与えられるとする。
• 生産量を幾らにした時、利潤が最大化される
のだろうか。
24
3
4
何故、微分を使うのか
利潤の変化
• この問題を考えるに際しては、生産量の変
化に応じて利潤がどの様に変化するかを調
べれば良い。
24

ある生産水準で利潤
が最大化されるよう
なら、微分の値はゼ
ロになるはず。
6
24
• 生産量がqの場合、生産量が1単位増加する
と、利潤は24 6 だけ変化する。
3
特定の生産水準での、
利潤関数の傾きを求
めるのが微分
4
何故、微分を使うのか
生産量の変化に応じた利潤の変化
この関数では、生産量が0
から4迄の区間では利潤が
増加し、4で利潤の変化が
ゼロとなり、4を超えると生
産量が増加するにつれ利
潤が低下することとなる。
⁄
0
0
1 21
21
2 36
15
3 45
9
12
4 48
3
6
5 45
－3
24
18
0
1
2
3
4
24
6
• この問題を考えるに際しては、生産量の変化に
応じて利潤がどの様に変化するかを調べれば
良い。

⁄
6
• 生産量が1単位増加すると、利潤の増加額
（ ⁄ ）は、 6だけ減少する。
• 生産量を増やせば利潤が増加するかもしれない
が、増加する額は生産量が増加するにつれて、
減少していく。
2
2014/4/13
対数関数と指数関数の微分
生産量の変化に応じた利潤の変化
最初の1単位の増産による利潤の増加は24だが、次の
1単位の増産による利潤の増加は18に減る。また、そ
の次の1単位の増産による利潤の増加は12に減る。
増産をしていくことで、利潤自体は4単位目までは
⁄
増加し続けるが、利潤
の増え方は減少をして
いく。
⁄
24
18
12
0
6
0
1
2
3
4
24
6
0
1 21
21
2 36
15
3 45
9
4 48
3
5 45
－3
指数関数の微分
の微分は以下の様になる。
•

•

log
lim 1
 はネイピア数、
2.71828
→
• 底がネイピア数の対数を特に自然対数とよび、
log
ln と表記する場合がある。
• 自然対数の微分は以下の様に与えられる。

その他の微分に関する便利なルール
• 積の微分
z

 例： z 3
3
4
1
6
2 ならば、
6 1
24 と計算できる。
2
• 合成微分
z

 例： z
4
として、

対数モデルと弾力性
• 経済学では、変化率の概念を述べる時にし
ばしば弾力性を用いる。
• 弾力性とはある変数が1％変化した時にもう
一方の変数が何％変化するかを示すもので
ある。
• 弾力性：
⁄
⁄
3
2 4
ならば、
3
8
4
3 とおきかえ、
3 と計算できる。
対数変換と弾力性
• 経済学では数値を対数変換して用いる場合
がある。
• 理由１：規模が大きく異なる標本の比較を行
うため。
• 理由2：対数変換をすると弾力性を用いて議
論ができる。
3
2014/4/13
規模の異なる国のデータ
1人当たり
CO2排出量
規模の異なる国のデータ
Ln(1人当たり
CO2排出量)
1人当たりGDP
Ln（1人当たりGDP）
対数変換
ln
•
• この式に、先の変形式を代入すると、以下の
関係が得られる。

 これを変形すると、 ln
なる。
• 2つの変数、との関係を調べる時に、両方の変数の
自然対数をとり、以下の関係式を考える。
 ln
対数変換
ln
• この式では、ln が1単位増えるとln がだけ増える
ということになるが、その関係は以下の様にかける。

⁄
⁄
• これは、弾力性の定義式である。
• 従って、対数変換をした式を利用すれば、弾
力性の概念を用いて議論が出来るようになる。

4

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