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[２０１５・後] 線形代数（機械）授業内容の補足
2015.10.09[2]
1) 命題 1-4-1 の証明
命題 1-4-1
A を行列, P を正則行列とするとき,
(1) r(P A) = r(A)
(2) r′ (AP ) = r′ (A)
[
]
(証明) (1) のみ示す. A = a1 | a2 | · · · | an とする. n 個の列ベクトル {a1 , a2 , · · · , an } のう
ち, {a1 , a2 , · · · , ak } の k 個 (k 5 n) が一次独立であったと仮定する (このように仮定しても一般
性は失われない. 必要なら添え字の番号をつけかえればよいから). さて,
[
] [
]
P A = P a1 | a2 | · · · | an = P a1 | P a2 | · · · | P an
である. ここで, t1 , t2 , · · · , tk を実数として,
t1 (P a1 ) + t2 (P a2 ) + · · · tk (P ak ) = 0
1
··· ⃝
とおく. すると,
P (t1 a1 ) + P (t2 a2 ) + · · · P (tk ak ) = 0
∴ P (t1 a1 + t2 a2 + · · · tk ak ) = 0
2
··· ⃝
2 の両辺に左から P −1 をかけると,
となる. 命題の仮定により, P −1 が存在するから, ⃝
t1 a1 + t2 a2 + · · · tk ak = P −1 0
∴ t1 a1 + t2 a2 + · · · tk ak = 0
3
··· ⃝
3 から, t1 = t2 = · · · = tk = 0
となる. {a1 , a2 , · · · , ak } は一次独立だから, 一次独立の定義により, ⃝
1 を満たす t1 , t2 , · · · , tk の値は, t1 = t2 = · · · = tk = 0 に限られ
であるしかない. したがって, ⃝
ることがわかった. このことは, k 個のベクトルの組 {P a1 , P a2 , · · · , P ak } が一次独立であるこ
とを意味する.
以上より, P が正則であれば,
{a1 , a2 , · · · , ak } が一次独立
=⇒ {P a1 , P a2 , · · · , P ak } が一次独立
であることがわかった. よって,
r(A) 5 r(P A)
である. 同様の手法で, r(A) = r(P A) であることも示せる (これは研究課題とする). したがって,
r(A) 5 r(P A) かつ r(A) = r(P A) となり, r(A) = r(P A) が導かれる. (2) については, 同様の議論
を行ベクトルに対して行えばよい.
(終わり)
以上

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