システム制御理論 I [1] 期末試験解答例 ⎡ f1 ] とおく．A − BF = ⎣ ⎤ 0 1 ⎦. 状態フィードバック系の特性多項式は ϕf b (s) = a − f0 b − f1 s2 + (f1 − b)s + (f0 − a). これが (s − λ1 )(s − λ2 ) = s2 − (λ1 + λ2 )s + λ1 λ2 に一致すればよい．よって 1. F = [ f0 F = [ f0 f1 ] = [ a + λ1 λ2 ⎡ b − (λ1 + λ2 ) ]. ⎤ ⎤ ⎡ 0 1 C ⎦. 可観測 ⇐⇒ MO が正則 ⇐⇒ a = 0 (b は任意）． ⎦=⎣ 2. 可観測性行列は MO = ⎣ a b CA 3. 前問より a = 0 である．このとき，u(t) = 0 として，状態方程式を x(t) = [ x1 (t) x2 (t) ]T の要素ごとに書くと，x˙ 1 (t) = x2 (t), x˙ 2 (t) = bx2 (t), y(t) = x2 (t). これより，x1 (t) は（もしくは，x1 (t) の初期値 x1 (0) は） x2 (t) および y(t) に影響を及ぼさないことがわかる．よって， ⎡ ⎡ ⎤ ⎤x2 (0) が共通で，x1 (0) が異なる初期値に対する y(t) は一致する．答としては，x01 = ⎣ p1 q ⎦, x02 = ⎣ p2 q ⎦, p1 = p2 なるベクトルを例示すれば良い． [2] 外乱（ステップ信号）を生成するシステムは x˙ w (t) = 0, xw (0) = a, w(t) = xw (t) と表せる．状態変数を xa (t) = [ x(t) xw (t) ]T とするシステムは ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1 1 1 ⎦ xa (t) + ⎣ ⎦ u(t), x˙ a (t) = ⎣ 0 0 0 Aa Ba y(t) = 1 0 xa (t) Ca (1) となる．これに対する（同一次元）オブザーバ，すなわち，La をオブザーバゲインとして x ˆ˙ a (t) = Aa xˆa (t) + Ba u(t) − La ye (t), yˆ(t) = Ca xˆ(t), ye (t) = yˆ(t) − y(t) (2) が外乱推定オブザーバとなる．ここで x ˆa (t) は xa (t) の推定で，したがって xa (t) = [ x(t) xw (t) ]T = [ x(t) w(t) ]T の推定となる．以下ではゲイン La を決定しよう． ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Ca 1 0 ⎦=⎣ ⎦, Aa の特性多項式は ϕ(s) = det(sI − Aa ) = (1) 式のシステムの可観測性行列は MO = ⎣ 1 1 CaAa ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a 1 −1 1 1 ⎦ = ⎣ ⎦ とすると，可観測正準形への状態の s(s − 1) = s2 − s, a0 = 0, a1 = −1. W = ⎣ 1 0 1 0 ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ 0 1 0 0 ⎦. (1) 式のシステムを座標変換すると A˜ = T Aa T −1 = ⎣ ⎦, 座標変換行列は T = W MO = ⎣ 1 0 1 1 ⎡ ⎤ l ˜ = ⎣ 0 ⎦ とおくとき，A˜ − L ˜ C˜ の極をすべて C˜ = Ca T −1 = [ 0 1 ]. 可観測正準形でのオブザーバ下ゲインを L l1 ⎡ ⎤ 0 −l0 ˜ C˜ = ⎣ ⎦ の特性多項式（誤差系の特性多項式）ϕe (s) = s2 + (l1 − 1)s + l0 が −1 に配置するので，A˜ − L 1 1 − l1 ⎡ ⎤ 3 ˜=⎣ ⎦. (s + 1)2 = s2 + 2s + 1 に一致すればよい．よって l0 = 1, l1 = 3. もとの座標でのゲインは La = T −1 L 1 以上により題意を満たす外乱推定オブザーバ (2) が構成される． ⎡ [3] f(x, u) = ⎣ ⎤ x2 1 2 2 x1 − x1 + (x21 − 1)x2 + u ⎦ とおく． 1. u = 0 より，f(x, 0) = 0 となる x が平衡点を与える．第一要素より x2 = 0, これを用いると第二要素より 1 2 2 x1 − x1 = 0 となる．∴x1 = 0, 2. 平衡点となる xe は xe = [ 0 0 ]T , [ 2 0 ]T . ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 0 1 0 ∂f(x, u) ⎦, ∂f(x, u) = ⎣ ⎦. (x, u) = (xe , 0) まわりの近似線形システムの 2. =⎣ 2 ∂x ∂u 2x1 x2 + x1 − 1 x1 − 1 1 ∂f(x, u) ∂f(x, u) 係数行列は A = ,B= であるから， ∂x x=xe ,u=0 ∂u x=xe ,u=0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 0 0 1 ⎦ ⎦ の場合：A = ⎣ ⎦, B = ⎣ • xe = ⎣ 1 0 −1 −1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 0 1 0 ⎦ の場合：A = ⎣ ⎦, B = ⎣ ⎦ • xe = ⎣ 0 1 3 1 3. A の特性多項式を求めると，前者は s2 + s + 1 であり，システムは安定である．後者は s2 − 3s − 1 であり，）システムは不安定である．（2 次の場合，安定 ⇐⇒ A の特性多項式の係数が全て正． [4] ⎡ 1. 可制御性行列は MC = B 2. 解の公式より， x[3] = A2 x[0] + AB A2 B ⎢ ⎢ =⎢ 1 ⎣ 0 ⎡ B 1 −1 0 u[2] 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥. det MC = −3 より，システムは可制御である． ⎦ 2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ AB A2 B ⎢ u[1] ⎥ ⎦ ⎣ u[0] MC である．x[0], x[3] の値を代入して解くと u[0] = −2, u[1] = 1, u[2] = 3 が得られる．