問題 4
実数の定数 a, b に対して、関数 f (x) を
f (x) =
ax + b
+x+1
x2
で定める。すべての実数 x で不等式
f (x)
3
2
f (x) − 2f (x) + 2
が成り立つような点 (a, b) の範囲を図示せよ。
【2014 京都大学】
解答
y
y 3 − 2y 2 + 2
⇔ y 3 − 2y 2 − y + 2 0
(
)
⇔ (y − 2) y 2 − 1
0
⇔ −1
y
1, 2
y······
1
ax + b
y = f (x) = 2
x +x+1
(
)
a x2 + x + 1 − (ax + b) (2x + 1)
f (x) =
2
(x2 + x + 1)
−ax2 − 2bx + a − b
=
2
(x2 + x + 1)
求める条件は連続関数 y = f (x) の値域 D が
1
に含まれるための a, b の条件である。
ここに、
lim f (x) = 0
x→±∞
に着目すると、D は 0 を含むか、またはその近傍を含まなければならない。したがっ
て、D が 2
−1
y に含まれることはない。ゆえに、
f (x)
ax + b
1 ⇔ −1
1
2
x +x+1
( 2
)
⇔− x +x+1
ax + b x2 + x + 1
{ 2
x + (a + 1) x + b + 1 0
⇔
x2 + (−a + 1) x − b + 1 0
が任意の実数 x で成り立つ条件を求めることになる。それは、
1
{
2
2
b
(a + 1) − 1
(a + 1) − 4 (b + 1) 0
4
⇔
2
(−a + 1) − 4 (−b + 1) 0
b − 1 (a − 1)2 + 1
4
c Darumafactory
-1-
RadicalMath
これを図示すると下図。
b
√
3
c Darumafactory
O
√
− 3
a
-2-
RadicalMath
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