170～179 - Biglobe

新微分積分 II 問題集
4 章微分方程式 § 1 1 階微分方程式 (p.44∼p.)
Z
BASIC
Z
1 dx = 3t2 dt
x
これより，log x = t3 + c
170 質量の（減少の）変化率は，− dx であり，これがそのときの質
dt
量に比例するので
dx = kx，すなわち， dx = −kx
−
dt
dt
c より， dx = −
c
t−1
dt
(t − 1)2
c より，c = x(t − 1) であるから
また，x =
t−1
dx = − x(t − 1)
dt
(t − 1)2
dx
x
=−
dt
t−1
よって
x = et
dx = 3ct2
dt
x
また，x = ct3 より，c = 3 であるから
t
dx = 3 · x · t2
dt
t3
dx
3x
=
dt
t
172 x = C に，t = 0, x = 1 を代入すると
t−1
C ，これより，C = −1
1 =
0−1
1
よって，求める特殊解は，x = −
t−1
173（ 1 ） x = cos t より， dx = − sin t
dt
dx
左辺 =
= − sin t
dt
sin t + sin t
右辺 = −2 · cos t ·
cos t
= −2 sin t + sin t = − sin t
3
+c
x = ±et
171（ 1 ） x =
（ 2 ） x = ct3 より，
3
+c
= ±ec · et
3
C = ±ec とおくと
x = Cet
3
(C は任意定数)
（ 2 ）両辺を x で割ると
1 dx = − 2
x dt
t
両辺を
Z t について積分すると
Z ³
´
1 dx =
− 2 dt
x
t
これより
log x = −2 log t + c
log x + log t2 = c
log xt2 = c
よって
xt2 = ec
xt2 = ±ec
c
x = ±e2
t
C = ±ec とおくと
C
x = 2
(C は任意定数)
t
（ 3 ）両辺に cos x をかけると
dx = sin t
dt
cos x
したがって，x = cos t は与えられた微分方程式の解であ
両辺を
Z t について積分すると
Z
る．
左辺 =
dx = − sin t − 2C cos t sin t
dt
dx = − sin t − 2C cos t sin t
dt
右辺 = −2(cos t + C cos2 t) tan t + sin t
= −2(cos t + C cos2 t) · sin t + sin t
cos t
= −2 sin t − 2C cos t sin t + sin t
= − sin t − 2C cos t sin t
よって，左辺 = 右辺
また，1 個の任意定数を含むから，関数 x = cos t + C cos2 t
は与えられた微分方程式の一般解である．
（ 3 ） x = cos t + C cos2 t に，t = 0, x = 2 を代入すると
2 = cos 0 + C cos2 0
(c は任意定数)
log x + 2 log t = c
よって，左辺 = 右辺
（ 2 ） x = cos t + C cos2 t より，
(c は任意定数)
cos x dx =
sin t dt
これより
− sin x = cos t + c
(c は任意定数)
sin x + cost = −c
c = −C とおくと
sin x + cos t = C
(C は任意定数)
（ 4 ）両辺を x で割ると
1 dx = 2t
x dt
1 − t2
両辺を
Z t について積分すると
Z
1
2t dt
dx =
x
1 − t2
Z
Z
−(1 − t2 )0
1 dx =
dt
x
1 − t2
これより
log x = − log 1 − t2 + c
2
2 = 1 + C
log x + log t − 1 = c
C = 1
log x(t2 − 1) = c
よって，特殊解は，x = cos t + cos2 t
よって
(c は任意定数)
( 1 − t2 = t2 − 1 )
x(t2 − 1) = ec
174（ 1 ）両辺を x で割ると
1 dx = 3t2
x dt
両辺を t について積分すると
x(t2 − 1) = ±ec
x=
±ec
t −1
2
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C = ±ec とおくと
x =
C
t2 − 1
(C は任意定数)
175（ 1 ）両辺を x で割ると
1 dx = − 1
x dt
t2
両辺をZ t について積分すると
Z
1
dx = − 12 dt
x
t
x2 = t2 (−4 log t + C)
（2） u =
1 +c
t
dx = u + t du
dt
dt
du = u + cos2 u
dt
du = cos2 u
すなわち，t
dt
du = 1 であるから，両辺を t について積分す
1
t
cos2 u dt
u + t
(c は任意定数)
1
x = e t +c
x = ±ec e t
ると Z
C = ±ec とおくと
1
1
(C は任意定数)
1 = Ce
よって，求める解は，x =
1 · e 1t ，すなわち，x = Ce 1t −1
e
x3 + 1 で割ると
x2
2
dx = 1
x
3
x + 1 dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
x2 dx = dt
x3 + 1
Z
Z
(x3 + 1)0
1
dx
=
dt
3
x3 + 1
（ 2 ）両辺を
これより
1 log x3 + 1 = t + c
3
log x3 + 1 = 3(t + c)
(c は任意定数)
よって
x3 + 1 = e3t+c
0
(3c = c0 )
0
x3 + 1 = ±ec e3t
0
C = ±ec とおくと
x3 + 1 = Ce3t
(C は任意定数)
これに，t = 0, x = 1 を代入すると
13 + 1 = Ce0
C=2
よって，求める解は，x3 +1 = 2e3t ，すなわち，x3 = 2e3t − 1
2 ···°
1
176（ 1 ） dx = x − 2t より， dx = x − x
dt
t
x
dt
t
t
x とおくと，x = tu であるから，両辺を t で微分し
u=
t
て
dx = u + t du
dt
dt
これを°
1 に代入して
du = u − 2
u + t
dt
u
du
すなわち，t
=−2
dt
u
du
2
u
= − であるから，両辺を t について積分すると
tZ
Z dt
1 dt
u du = −2
t
これより
1 u2 = −2 log t + C (C は任意定数)
2
すなわち， u2 = −4 log t + C
x であるから
ここで，u =
t
Z
1 dt
t
tan u = log t + C
(C は任意定数)
x
ここで，u =
であるから
t
x
= log t + C (C は任意定数)
tan
t
1
1
1 =C
e
1 du =
cos2 u
これより
これに，t = 1, x = 1 を代入すると
x とおくと，x = tu であるから，両辺を t で微分し
t
これを与えられた微分方程式に代入して
よって
x = Ce t
(C は任意定数)
て
これより
log x =
x2 = −4 log t + C
t2
177 u = x とおくと，x = tu であるから，両辺を t で微分して
t
dx = u + t du
dt
dt
これを与えられた微分方程式に代入すると
du = 3u − 1
dt
du = 2u − 1
すなわち，t
dt
1
du
= 1 であるから，両辺を t について積分すると
2u
−
1
dt
tZ
Z
1
1 dt
du =
2u − 1
t
u + t
これより
1 log 2u − 1 = log t + c （c は任意定数）
2
log 2u − 1 − 2 log t = c0 (2c = c0 )
2u − 1 = c0
log
t2
2u − 1 = ec0
よって，
t2
0
2u
−
1
= ±ec
t2
0
±ec = C とおけば
2u − 1 = C
t2
2u − 1 = Ct2
x であるから
ここで，u =
t
x − 1 = Ct2
2 ·
t
2x = Ct2 + 1
t
x = t (Ct2 + 1)
2
これに，t = 1, x = 2 を代入して
1
2 = (C · 12 + 1
2
1
1
2 = C +
2
2
1
3
C =
2
2
C = 3
1
3 3
t
t + t
よって，求める解は，x = (3t2 +1)，すなわち，x =
2
2
2
178（ 1 ） ( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
dx − 3x = 0
dt
t
3x
dx
=
dt
t
1
dx
= 3
x dt
t
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1 dx = − tan t
x dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
1
dx = − tan t dt
x
Z
Z
1 dx = − sin t dt
x
cos t
Z
Z
−(sin t)0
1
dx = −
dt
x
cos t
Z
Z
(sin t)0
1 dx =
dt
x
cos t
両辺を
Z t について積分すると
Z
1 du =
x
3 dt
t
これより
log x = 3 log t + c
(c は任意定数)
log x − 3 log t = c
x
t3
log
=c
よって
x = ec
t3
x = ±ec
t3
これより
log x = log cos t + c
±ec = C とおくと
x = Ct3
よって
x
= ec
cos t
x = ±ec
cos t
±ec = C とおくと
(C は任意定数)
( ii ) x = ut3 とおき，両辺を t で微分すると
dx = du t3 + u · 3t2
dt
dt
x = C cos t
微分方程式に代入すると
du t3 + 3ut2 − 3ut3 = 2t2 − t
dt
t
du
3
2
t = 2t − t
dt
du = 2 − 1
dt
t
t2
両辺を
Z t について積分すると
Z ³
´
2 − 1 dt
du =
t
t2
微分方程式に代入すると
du
dt
du
dt
du
dt
du
dt
1 +C
t
(C は任意定数)
³
´
1 +C
よって，求める一般解は，x = t3 2 log t +
t
すなわち，x = t2 (2t log t + 1 + Ct)
−3
t
cos t =
=
1
cos t
1
cos t
1
cos2 t
du =
1 dt
cos2 t
u = tan t + C
´
(C は任意定数)
よって，求める一般解は
´
sin t + C cos t
cos t
すなわち，x = sin t + C cos t (C は任意定数)
dt = −3 log t
ここで，e−3 log t =
cos t − u sin t + u sin t =
1
cos t
これより
〔別解〕（積分因子を利用）
Z
cos t − u sin t + u cos t tan t =
両辺を
Z t について積分すると
Z
(C は任意定数)
³
(C は任意定数)
( ii ) x = u cos t とおき，両辺を t で微分すると
dx = du cos t − u sin t
dt
dt
これより
u = 2 log t +
(c は任意定数)
x
log
=c
cos t
x = ±ec t3
³
x = (tan t + C) cos t =
1
t3
( i ) t > 0 のとき
1 をかけると
t3
1 dx − 3x = 2 − 1
3
t
t dt
t4
t2
方程式の両辺に，
( ii ) t < 0 のとき
1 をかけると
t3
= − 2 + 12
t
t
3x
2
− 4 =
− 12
t
t
t
方程式の両辺に，−
1 dx + 3x
t3 dt
t4
1
dx
すなわち， 3
t dt
−
〔別解〕（積分因子を利用）
Z
tan t dt = − log cos t
方程式の両辺に，e− log cos t =
1 dx + x · sin t = 1
cos t dt
cos2 t
cos2 t
³
´0
1 x = 1
cos t
cos2 t
よって
1 x=
cos t
´0
x
= 2 − 12
t3 Z t
t
³
´
x
2
3 =
− 12 t dt
t
t
t
= 2 log t + 1 + C
t
dx + x tan t = 0
dt
dx = −x tan t
dt
1 dt
cos2 t
x = sin t + C cos t
したがって
（ 2 ） ( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
（場合分け省略）
(C は任意定数)
したがって
x = t2 (2t log t + 1 + Ct)
Z
= tan t + C
よって，いずれの場合も
³
1
をかけると
cos t
(C は任意定数)
(C は任意定数)
179（ 1 ） ( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
dx + 2t x = 0
dt
t2 + 1
dx
= − 2 2t x
dt
t +1
1
dx
= − 2 2t
x dt
t +1
両辺を t について積分すると
Z
Z
(t2 + 1)0
1
dt
dx = −
x
t2 + 1
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log x = 2t + c （c は任意定数）
これより
log x = − log t2 + 1 + c
(c は任意定数)
log x + log t2 + 1 = c
よって
x = e2t+c
log x(t2 + 1) = c
= ec e2t
よって
x = ±ec e2t
x(t2 + 1) = ec
2
x(t + 1) = ±e
±ec = C とおくと，x = Ce2t
c
±ec = C とおくと
2
x(t + 1) = C
(C は任意定数)
C
x = 2
t +1
微分方程式に代入すると
du
1
− u 2 2t 2 + 2 2t · 2 u
= 4t
dt t2 + 1
(t + 1)
t +1 t +1
du
1
= 4t
dt t2 + 1
du = 4t(t2 + 1) = 4t3 + 4t
dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
du =
( ii ) x = ue2t とおき，両辺を t で微分すると
dx = du · e2t + u · 2e2t
dt
dt
微分方程式に代入すると
( ii ) x = 2 u
とおき，両辺を t で微分すると
t +1
dx = du
1
− u 2 2t 2
dt
dt t2 + 1
(t + 1)
(C は任意定数)
(4t3 + 4t) dt
du · e2t + 2ue2t − 2ue2t = et
dt
du
· e2t = et
dt
du = et = e−t
dt
e2t
両辺を
Z t について積分すると
Z
du =
e−t dt
これより
u = −e−t + C （C は任意定数）
よって，一般解は
x =
−e−t + C
e
2t
= −et + Ce2t
これより
u = t4 + 2t2 + C （C は任意定数）
これに，t = 0, x = 1 を代入して
よって，一般解は
1 = −1 + C
x =
4
2
t + 2t + C
t2 + 1
C = 2
よって，求める解は，x = 2e2t − et
これに，t = 0, x = 1 を代入して
C
1
C = 1
〔一般解の求め方の別解〕（積分因子を利用）
Z
1 =
(−2) dt = −2t
方程式の両辺に，e−2t をかけると
よって，求める解は
2
2
t + 2t + 1 = (t + 1)
x =
2
2
t +1
t +1
したがって，x = t2 + 1
4
2
dx − 2e−2t x = et · e−2t
dt
(e−2t x)0 = e−t
e−2t
よって
Z
e−2t x =
〔一般解の求め方の別解〕（積分因子を利用）
Z
2t dt = log t2 + 1
t2 + 1
2
方程式の両辺に，elog t + 1 = t2 + 1 をかけると
dx + 2tx = 4t(t2 + 1)
(t2 + 1)
dt
{(t2 + 1)x}0 = 4t3 + 4t
よって
e−t dt
= −e−t + C
(C は任意定数)
したがって
x = e2t (−e−t + C) = −et + Ce2t
(C は任意定数)
Z
(t2 + 1)x =
(4t3 + 4t) dt
= t4 + 2t + C
(C は任意定数)
したがって
x =
t4 + 2t + C
t2 + 1
(C は任意定数)
（ 2 ） ( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
dx − 2x = 0
dt
dx
= 2x
dt
1 dx = 2
x dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
1 dx = 2 dt
x
これより
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