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１　(問
1) f0 x 1 = x 3 + ax 2 + bx とおくと，f -0 x 1 =3x 2 +2ax + b
a，b は f -0 x 1 =0 の解より，2 次方程式の解と係数の関係より，
2
b
a + b =- a，ab =
3
3
3
a =- 0 a + b 1 ，b =3ab
2
3
f0 x 1 = x 3- 0 a + b 1x 2 +3abx
2
1
3
1
3
よって，f0 a 1 =- a 3 + a 2b ，f0 b 1 =- b 3 + ab 2 ……（答）
2
2
2
2
1
(問 2)　f -0 x 1 =30 x - a 10 x - b 1
a < b より，f0 x 1 の増減表は次のようになる．
x
…
a
…
b
…
f -0 x 1
+
0
-
0
+
f0 x 1
9
:
9
また，a < b <3a より，b > a >0 ，3a - b >0 が成り立ち
b2
f0 b 1 =
3a - b 1 >0
2 0
したがって，3 次方程式 f0 x 1 =-1 の実数解の個数は 1 個 ……（答）
２　(問
1) AB= 0 q -1, 1 - p, 1 1 ，CB= 0 q +1, 2, 1 - r 1
3 点 A，B，C が一直線上にある条件より，AB= kCB となる実数 k が存在し，
q -1= k0 q +1 1 ……① 1- p =2k ……②　1= k0 1 - r 1 ……③
③より，k ' 0 ゆえ，②より p ' 1
①，②より k を消去すると，q -1=
1-p
･ 0 q +1 1 C 0 1 + p 1q =3- p ……④
2
p +1=0 と仮定すると，④ C 0 ･ q =4
これを満たす実数 q は存在しない．よって，p ' -1 （証明終）
(問 2)　④より，q =
3-p
……（答）
1+p
②，③より，2= 0 1 - p 10 1 - r 1 ，r =
p+1
……（答）
p-1
(問 3)　OA -，OB -，OC - と AB が垂直より，
OA -･ AB= q -1+ p -0 1 - p 1 =0 ……⑤
OB -･ AB= q -0 q -1 1 + 0 1 - p 1 +1=0
……⑥
OC -･ AB=-0 q - 1 1 - 0 1 - p 1 + r - =0 ……⑦
q -1=
3-p
2 1-p1
-1= 0
1+p
1+p
であるから
⑤より，p - =
q- 1
2
=……（答）
p- 1
p+ 1
p - 2 10 1 + p 1
⑥より，q -0 q -1 1 = p -2 ，q - = 0
……（答）
20 1 - p 1
p + 3 10 1 - p 1
⑦より，r - = q - p = 0
……（答）
1+p
(問 4)　A -B - = 0 q - -1, 1 - p -, 1 1 ，C -B - = 0 q - +1, 2, 1 - r - 1
A -，B -，C - が一直線上にあると仮定すると，0 1 - p - 10 1 - r - 1 =2
1- p - =1+
2
p+ 3
=
，
p+ 1
p+ 1
p + 3 10 p - 1 1
p 2 + 3p - 2
1- r - =1+ 0
=
1+p
p+ 1
よって，
p + 3 p 2 + 3p - 2
=2 C　p 3 +4p 2 +3p -8=0
･
p+ 1
p+1
C 0 p -1 10p 2 +5p +81 =0
p ' 1 より，p 2 +5p +8=0 ……⑧
⑧の判別式をD とおくと，D =25-32<0 が成り立ち，⑧を満たす実数 p は
存在せず，3 点 A -，B -，C - は一直線上にない．（証明終）
３　(問
1) 点 Y n から辺 BC に下した垂線と辺 BC の交点を W n 0 n =1, 2, 3… 1 とおくと，
A
X 1Y 1SCA より，
BY 1:Y 1A= BX 1:X 1C=1:8
+　BY 1 =AB %
1
Y1
1
2
=U
9
9
l1
B
l 1 = Y 1W 1 = BY 1 ･ sin 45, =
W1
1
1
……（答）
9
X2
X1
A
BY n:Y nA= BX n:X nC =9-8l n:8l n
Yn
9 - 8l n
2
= U 09 -8l n1
9
9
Zn
ln
B
1
l n+1 = Y nW n = BY n ･ sin 45, = 09 -8l n1
9
Wn
X n+1 X n
8
よって，l n+1 =- l n +1 0 n ) 1 1 ……（答）
9
(問 3)　(問 2)の漸化式を解くと，l n =
ln>
1
9
8
8
より，
+
･ 2
17
17
9
8 9
n が奇数より，
よって，n >
n
>
8 9
4
log 2
9
8
=
9
8
8
+
･ 17
17
9
8 9
1
2
9
1
8
8
- >
･
17
2
17
9
n
C
9
8
8 9
n
n
0n )11
>16 C n ･ log 2
4
……（*）
log 2 9 - 3
3.169< log 2 9 <3.17 より，
C
8
(問 2)　X nC=8l n より，BX n =9-8l n
+　BY n =AB %
Z1
4
4
4
<
<
，
0.17
0.169
log 2 9 - 3
23.5… <
4
<23.6…
log 2 9 - 3
よって，（*）を満たす最小の奇数 n は，n =25
9
>4
8
C
４　(問
1) a n+1 - a n =
Q
(n+1)p
e -x sin x dx
np
x - np = t とおくと，
a n+1 - a n =
I =
Q
p
Q
p
0
e -(t+np) sin 0 t + np 1 dt = e -np
Q
p
e -tsin t dt
0
e -tsin t dt とおくと，
0
I =
=
Q
Q
p
0
-t -t
0-e 1 sin t dt = -e sin t
0
4
p
5 Q
p
0
+
p
e -tcos t dt
0
-
0-e 1 cos t dt
-t
4
= -e -tcos t
5 Q
p
0
-
p
e -tsin t dt
0
= e -p +1- I
よって，I =
1 + e -p
1 + e -p -p n
，a n+1 - a n =
e
……（答）
2
2
(問 2)　a 1 = I より，a n+1 - a n = a 1e -p n 0 n ) 1 1
n ) 2 のとき，
n-1
n-1
a n = a 1 + P a 1e -p k = P a 1e -p k =
k=1
k=0
a 16 1 - e -p n7
1 - e -p
=
1 + e -p
1 - e -p n
%
2
1 - e -p
この式は，n =1 のときも成り立つ．
1 + e -p 10 1 - e -p n1
よって，a n = 0
0 n ) 1 1 ……（答）
20 1 - e -p1
(問 3)　lim e -p n =0 より，lim a n =
n .*
n .*
1 + e -p
……（答）
20 1 - e -p1

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