数学の基礎II(C) 2O 宿題 Part 2 解答

2 宿題 Part 2
数学の基礎 II(C) ⃝
解答 1.
∫
1
(∫
)
1
∫
xe dy dx =
0
0
1
(ex − 1)dx = e − 2
xy
0
別解：積分順序を変えると，部分積分より，
}
]x=1 ∫ 1
}
∫ 1∫ 1
∫ 1 {[
∫ 1{ y
1
1
1 xy x=1
e
xy
xy
xy
xe dxdy =
−
xe
e dx dy =
− 2 [e ]x=0 dy
y
y
y
0
0
0
0 y
0
x=0
)
[ y ]1 ∫ 1 y
[ ]1
∫ 1( y
∫ 1 y
1
e
ey
e
e
e
1
− 2 + 2 dy =
dy +
−
dy −
=
y
y
y
y 0
y 0
0 y
0 y
0
[ y
]1
]1
[ y
e −1
e −1
= lim
= e − 2.
=
c→0
y
y
0
c
2. 図は省略する．
)
∫ 1 (∫ 1−x
∫ 1
x
y
(1)
e
e dy dx =
ex (e1−x − 1)dx = 1
0
0
) 0 ∫ 1
∫ 1 (∫ 2−x
(2)
(x2 − 2y)dy dx =
[x2 y − y 2 ]y=2−x
y=x2 dx
0
x2
0
∫ 1
23
=
(−x3 + x2 + 4x − 4)dx = −
12
0
∫ e
∫ e ∫ log x
1
1
1
1
1
y 2 dydx =
(log x)3 dx = [(log x)4 ]e1 =
(3)
3 1
x
12
12
1 x 0
]x=y/2
∫ π ∫ y/2
∫ π[
∫ π
1
1
1
x
x
(4)
dy =
y sin dy = π 2 sin
cos dxdy =
y sin
y
y x=0
2
2
2
0
0
0
0
∫ 1 ∫ x+2
∫ 4 ∫ −x+4
(5)
xdydx +
xdydx
−2 0
1
0
∫ 1
∫ 4
2
=
(x + 2x)dx +
(−x2 + 4x)dx = 9
−2
1
∫ 3 ∫ −y+4
∫ 3
1
別解: 与式 =
{(−y + 4)2 − (y − 2)2 }dy
xdxdy =
2
0
y−2
0
∫ 3
=
(−2y + 6)dy = 9
∫
0
1
(6)
−1
∫
√
2
1−x
√
∫
1−x2
√
− 1−x2
1
dydx = 2
−1
1
(1 − x2 )dx =
8
3
3.
]x=y
∫
1 2
1 1 3
1
(1) 与式 =
xy
dy =
y dy =
2
2 0
8
0
x=0
積分順序を変えると
]y=1
∫ 1∫ 1
∫ 1[
∫
1 2
1 1
1
与式 =
xydydx =
xy
dx =
(x − x3 )dx =
2
2 0
8
0
x
0
y=x
]x=y
∫ 1[
∫ 1(
)
π
x
(2) 与式 =
Tan−1
dy =
− Tan−1 y dy
y x=y2
4
0
0
∫ 1
π
y
1
= − [yTan−1 y]10 +
dy (部分積分した) = log 2
2
4
2
0 1+y
積分順序を変えると
]y=√x
∫ 1 ∫ √x
∫ 1[
y
1
2
2
dx
与式 =
dydx =
log(x + y )
x2 + y 2
2
0
x
0
y=x
∫
1 1
1
=
{log(x + 1) − log x − log 2} dx = · · · (部分積分) = log 2
2 0
2
∫
1
[
4. p.224, 問 6.8. 積分順序を変更して
∫ 1∫ y
∫
y 2 /2
与式 =
e dxdy =
0
0
1
yey
2 /2
dy = [ey
2 /2
]10 =
√
e−1
0
5. (1) p.229, 問 6.10.
2u 2v J =
= 2(u2 − v 2 )
v u
cos(u + v) cos(u + v)
(2) J = = 2 sin(u − v) cos(u + v)(= sin(2u) − sin(2v))
− sin(u − v) sin(u − v) 6. p.227, 問 6.9. u = x + y, v = x − y とおくと，x =
∫
1
∫
1
与式 =
−1
0
u+v 1
1
· dvdu =
2
2
4
7. (1) u = x − y, v = x + y とおくと，x =
∫
1
∫
1
(
与式 =
0
0
u+v
2
)2
∫
1
[
0
u+v
,
2
u+v
,
2
1
1
dudv =
2
24
だから，J(u, v) = − 12 .
1
du =
2
v=−1
−u+v
2
∫
u−v
2
]v=1
1
(u + v)2
2
y=
y=
∫
1
0
だから，J(u, v) = 12 .
1
((1 + u)3 − u3 )du =
0
(2) u = 2x + y, v = 2x − y とおくと，(1) と同様にして J(u, v) = − 14 .
∫
π
∫
1
1
1
v cos uv · dudv =
4
4
∫
2
与式 =
0
0
2
1
udu = .
4
π
v sin vdv =
0
π
4
7
48
8. Jacobian は J(r, θ) = r であることに注意する．
∫
π
∫
1
[
1
r sin θdrdθ = r3
3
]1
2
(1)
0
∫
0
π/2
∫
1
(2)
0
∫
2π
∫
0
√
1
r2 cos θdrdθ =
3
3
[− cos θ]π0 =
0
∫
r log r2 drdθ = 2
(3)
√
dθ
1
0
∫
2π
2
3
([
3
r log rdr = 4π
1
0
= 3π log 3 − 2π
√
π/4 ∫ 1
1
2
2
(4)
r cos θdrdθ = √ =
6
3 2
0
0
(5) p.230, 問 6.11.
∫ π/2 ∫ 1
∫ π/2
∫
3
3
2
r cos θ · rdrdθ =
(1 − sin θ) cos θdθ
1 2
r log r
2
]√ 3
1
1
−
2
∫
√
)
3
rdr
1
∫
−π/2
[
=
0
1
1
sin θ − sin3 θ
5
3
−π/2
]π/2
=
−π/2
1
r4 dr
0
4
.
15
10. 図は省略する．
(1)
∫∫∫
∫∫ ∫
∫
1−x−2y
∫
1
∫
(1−x)/2
dxdydz =
dzdxdy =
dx
dy
D 0
0
0
∫ 1 ∫ (1−x)/2
∫
1
1 1
=
dx
(1 − x)2 dx =
(1 − x − 2y)dy =
4 0
12
0
0
1−x−2y
V =
V
dz
0
(2) D = {x2 + y 2 ≤ 1} とおくと，極座標変換することによって
∫∫∫
V =
∫∫ ∫
dxdydz =
V
∫∫
1−x2 −y 2
∫
(1−x −y )dxdy =
2
dzdxdy =
D
0
D
3
2
∫
2π
0
1
(1−r2 )rdr =
dθ
0
π
2

Download Report