位相空間論 B（担当：小森）６月１１日：中間テスト予想問題問題１. (1) (2) (3) (4) (5) 実数列、収束列、有界列、部分列、コーシー列の定義を述べよ。実数列 {xn } が収束列ならばコーシー列であることを示せ。実数の部分集合の最大値、最小値、上限、下限の定義を述べよ。デデキントの切断公理を述べよ。デデキントの切断公理を用いて、実数列 {xn } がコーシー列ならば収束列であることを示せ。問題２. (1) 集合 X 上の距離関数 d : X × X → R の定義を述べよ。 (2) 距離空間 (X, d) の点 p と部分集合 A について、x が A の内点、触点の定義を述べよ。A の内 ¯ の定義を述べよ。A が開集合、閉集合の定義を述べよ。部 Ao 、閉包 A 問題３. A, B を距離空間 (X, d) の部分集合とする。内部に関する以下を示せ。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Ao ⊂ A A は開集合 ⇔ A ⊂ Ao A ⊂ B ⇒ Ao ⊂ B o (A ∩ B)o = Ao ∩ B o (A ∪ B)o ⊃ Ao ∪ B o だが一般に等号は成立しない。 (Ao )o = Ao Ao は A に含まれる最大の開集合。問題４. (1) ２つの距離空間 (X, dX ) と (Y, dY ) に対し、写像 f : X → Y が a ∈ X で連続であることの定義を述べよ。また f が連続写像であることの定義を述べよ。 (2) 距離空間 (X, dX ) から距離空間 (Y, dY ) への写像 f : X → Y が a ∈ X で連続であるための必要十分条件は、a に収束する X の任意の点列 {xn } に対し、Y の点列 {f (xn )} が f (a) に収束することを示せ。問題５. 距離空間 (X, dX ) から距離空間 (Y, dY ) への写像 f : X → Y について、 (1) X の部分集合 A と Y の部分集合 B に対し f (A) と f −1 (B) の定義を述べよ。 (2) 以下の条件は互いに同値であることを示せ。 (a) f が連続写像である。 (b) Y の任意の開集合 V に対し f −1 (V ) は X の開集合である。 (c) Y の任意の閉集合 W に対し f −1 (W ) は X の閉集合である。 (d) X の任意の部分集合 A に対し f (A) ⊂ f (A) が成り立つ。問題６. pPn 2 (1) 数ベクトル空間 Rn の任意の２点 x, y ∈ X に対し d(x, y) := i=1 (xi − yi ) とすると、d n は R 上の距離関数になることを示せ。 (2) 数ベクトル空間 Rn の任意の２点 x, y ∈ X に対し d0 (x, y) := max{|x1 − y1 |, · · · , |xn − yn |} とすると、d0 は Rn 上の距離関数になることを示せ。 √ (3) 不等式 d0 (x, y) 5 d(x, y) 5 nd0 (x, y) を示せ。 n n (4) R から R への恒等写像は、(Rn , d) から (Rn , d0 ) への連続写像であることを示せ。また (Rn , d0 ) から (Rn , d) への連続写像でもあることを示せ。 1