第10回演習問題（全射・単射）

2006 年 6 月 22 日
集合と論理演習（担当：嘉田）第 10 回
■ 全射・単射 ■
正の整数全体の集合を N で表す．すなわち N = {1, 2, 3, . . .} である．
整数全体の集合を Z で表す．
実数全体の集合を R で表す．
【定義】 f を集合 A から集合 B への写像とする．
(1) f が全射であるとは，
「すべての b ∈ B について『ある a ∈ A について f (a) = b』
」
が成り立つことである．
(2) f が単射であるとは，「a1 = a2 を満たすすべての a1 , a2 ∈ A について f (a1 ) =
f (a2 )」が成り立つことである．
10.1
以下の写像は全射であるか否か，また，単射であるか否か，答えよ（証明不要）
．
(1) f1 : R → R,
f1 (x) = sin x
(2) f2 : R → R,
f2 (x) = x3 + 1
(3) f3 : [0, 2π) → [−1, 1],
10.2
f3 (x) = sin x
Z から N への写像 g を，g(n) = |n| + 1 で定める．
(1) g は全射であるか否か，理由とともに述べよ．
(2) g は単射であるか否か，理由とともに述べよ．
10.3
A = {1, 2, 3, 4, 5} とし，A から A への写像 f を
f (1) = 3,
f (2) = 5,
f (3) = 5,
f (4) = 2,
f (5) = 3,
と定めることによって定義する．
(1) f は全射であるか否か，理由とともに述べよ．
(2) f は単射であるか否か，理由とともに述べよ．
(3) A の f による像 f (A) を求めよ．
(4) {3} の f による逆像 f −1 ({3}) を求めよ．
(5) 次の主張は正しいか正しくないか，論じよ．
（a）すべての A の部分集合 S について，f −1 (f (S)) = S が成り立つ．
（b）すべての A の部分集合 T について，f (f −1 (T )) = T が成り立つ．
10.4
A から B への写像 f と，A の部分集合 A1 に対し，A1 から B への写像 g を，
A1 の各々の要素 x に対して g(x) = f (x) と定めることによって定義することができる．
こうして定義される写像 g を，f の A1 への制限と呼び，f |A1 で表す．
一般に，f が A から B への全射であれば，A の部分集合 A1 を適切に選んで，f |A1
が A1 から B への全単射になるようにできる．たとえば，f : R → [0, ∞), f (x) = x2 は
全射であって単射でないが，f の [0, ∞) への制限 f |[0, ∞) は全単射である．
次のそれぞれの写像について，始域の部分集合を，その写像のその集合への制限が全単
射になるように，適切に選べ．
(1) f1 : R → [−1, 1],
f1 (x) = sin x
(2) f2 : R → [−1, 1],
f2 (x) = cos x
(3) f3 : N ∪ {0} → {0, 1, 2},
f3 (n) は n を 3 で割った余り
(4) f4 : N → N,
f4 (n) = [log2 n] + 1 （[r] は実数 r を超えない最大の整数を表す）
(5) f5 : Z → N,
f5 (n) = |n| + 1 （10.2 に示した写像 g と同じ）
10.5
f を A から B への写像，g を B から C への写像とする．次の問いに答えよ．
(1) f と g がともに単射ならば，g ◦ f は単射であることを証明せよ．
(2) f と g がともに全射ならば，g ◦ f は全射であることを証明せよ．
(3) g ◦ f が全射ならば，g は全射であることを証明せよ．
(4) g ◦ f が単射ならば，f は単射であることを証明せよ．
(5) g ◦ f が全射であって f が全射でない f, g の例を挙げよ．
(6) g ◦ f が単射であって g が単射でない f, g の例を挙げよ．

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