問題 1

第５講
数
列（ⅴ）
【問題 1】
次のように第 n 群が n 個の数を含むように分ける．
1 |2 ，
2| 3 ，
3 , 3 |4 ，
4 , 4 , 4| 5 ，…
（1）第 n 群の最初の数は，この数列の第何項か．
（2）第 321 項の数を求めよ．
31
数学 B
【問題 2】
自然数を (1 ) ， ( 2, 3 ) ， ( 4, 5, 6, 7 ) ，……のように第 n 群に 2n1 個が入るように分ける．
（1）第 n 群に入る数の和を求めよ．
（2）1000 は第何群の何番目か．
32
【問題 3】
正の整数を図のように並べたとき，次の数を求めよ．
（1）一番左に縦に並んでいる数列の上から第 j 番目の数
（2）一番上に横に並んでいる数列の左から第 k 番目の数
（3）上から第 j 番目で，左から第 k 番目にある数
1
3
6 10 15
2
5
9 14
4
8 13
7 12
11
33
第５講
数
列（ⅴ）解答
【問題 1】
次のように第 n 群が n 個の数を含むように分ける．
1 |2 ，
2| 3 ，
3 , 3 |4 ，
4 , 4 , 4| 5 ，…
（1）第 n 群の最初の数は，この数列の第何項か．
（2）第 321 項の数を求めよ．
（1） n ≧ 2 において第 (n  1) 群の末項までの項数は
1  2  3    (n  1)  1 n(n  1)
2
だけあるので，第 n 群の最初の数は
1 n(n  1)  1  1 (n2  n  2)
2
2
1
すなわち，第 (n2  n  2) 項である．
2
（2）第 321 項が第 n 群に属するとすれば
n(n  1)
n(n  1)
＜ 321 ≦
2
2
 n(n  1) ＜ 642 ≦ n(n  1)
これをみたす自然数 n は n  25 (群)
ゆえに，第 321 項は 25
34
数学 B
【問題 2】
自然数を (1 ) ， ( 2, 3 ) ， ( 4, 5, 6, 7 ) ，……のように第 n 群に 2n1 個が入るように分ける．
（1）第 n 群に入る数の和を求めよ．
（2）1000 は第何群の何番目か．
（1）第 n 群の最初の数は，はじめから数えて
(1  2  22    2n 2 )  1  2n 1
番目であり，第 n 群の項数も 2n1 となる．
よって
n 群の総和  2n 1  (2n 1  1)  (2n 1  2)    (2n 1  2n 1  1)
初項が 2n1 ，末項 2n  1 ，項数 2n1 の等差数列の和だから
(2n 1  2n  1)2n 1
n 群の総和 
2
 22n 2  22n 3  2n 2
（2）1000 が第 n 群にあるとすると第 n 群の先頭は 2n1 だから，次の不等式が成り立つ．
2n 1 ≦ 1000 ＜ 2n
29  512, 210  1024 だから n  1  9
よって n  10
第 10 群の先頭が 512 だから，1000 は 10 群の (1000  512)  1  489 番目となる．
35
【問題 3】
正の整数を図のように並べたとき，次の数を求めよ．
（1）一番左に縦に並んでいる数列の上から第 j 番目の数
（2）一番上に横に並んでいる数列の左から第 k 番目の数
（3）上から第 j 番目で，左から第 k 番目にある数
1
3
6 10 15
2
5
9 14
4
8 13
7 12
11
（1） 1, 2, 4, 7, 11,  であるから階差は，自然数の数列になる．
階差数列を {bn } とすると bn  n
j ≧ 2 のとき
j 1
a j  1   i  1 ( j 2  j  2)
2
i 1
この式は j  1 のときも成り立つ．
（2） 1, 3, 6, 10, 15,  であるから階差数列は 2, 3, 4, 5,  となる．
階差数列を {cn } とすると cn  n  1
k ≧ 2 のとき
k 1
ak  1   (i  1)  1 k( k  1)
2
i 1
この式は k  1 のときも成り立つ．
（3） 7, 8, 9,  , : 11, 12, 13,  などのように，ななめの数を考えると，求める数は，初
項 a j  k 1 ，公差 1 の等差数列の第 k 項である．
a j  k 1  k  1  1 {( j  k  1)2  ( j  k  1)  2}  k  1
2
 1 {( j  k )2  3 j  k  2}
2
36

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