解 数学検定 第２７２回準１級２次：数理技能検定 問題１ ⑴ x 2 ＋ y 2 −６x −８y ＋２０＝０より 答 ⑵ 円 C の中心をＡ，原点を通る直線が円 C と （ x −３）＋（ y −４）＝５ 接するときの接点をＴとおくと，ＯＡ＝５， ＡＴ よって，円 C は中心（３，４），半径 ５の ＝ ５， ∠ＯＴＡ＝９０°であるから，ＯＴ2 ＝２０ 円である。円 C の中心と直線ℓとの距離を d 方べきの定理より とおくと，d ＜ ５が求める条件である。 ＯＰ・ＯＱ ＝ＯＴ2 ｜３m −４｜ d ＝ ＜ ５ m 2 ＋１ ＝２０ 2 2 2 すなわち，ＯＰ・ＯＱは一定の値２０をとる。 （３m −４）＜５ （ m ＋１） 2 （答）２０ １ １１ これを解いて， ＜ m ＜ ２ ２ （答） 問題２ １ １１ ＜m ＜ ２ ２ ＧＡ＋ＧＢ＋ＧＣ＝０であるから，これとＧＡ， ＧＢとの内積をとると ＧＡ2 ＋ r ＋ q ＝０ すなわち，ＧＡ＝ −q −r r ＋ ＧＢ2 ＋ p ＝０ すなわち，ＧＢ＝ −p −r ここで，ＧＡとＧＢのなす角をθとおくと １ △ＧＡＢ＝ ＧＡ・ＧＢsinθ ２ １ ＝ ＧＡ・ＧＢ １−cos 2θ ２ １ r ＝ ＧＡ・ＧＢ １− ２ ＧＡ・ＧＢ 問題３ Ｊ１−２−１ １ ＝ （ p ＋ r（ ）q ＋ r ）−r 2 ２ １ ＝ pq ＋ qr ＋ rp ２ △ＡＢＣの面積は，この３倍に等しいので ３ S ＝ pq ＋ qr ＋ rp ２ ３ （答）S ＝ pq ＋ qr ＋ rp ２ 2 z−i ⑴ w ＝ より z＋i w ＋１ ⑵ z ＝− i（ w ≠１）が実軸上を動くとき， w −１ w ＋１ z ≠０ すなわち，w ≠−１では は純虚数 w −１ w ＝z −i （ z ＋ i ） z ＝−（w ＋１）i （ w −１） w ≠１より，両辺を w −１で割って w ＋１ z ＝ − i w −１ となる。このとき，２点−１，１から点 w へ 引いた２本の直線は直交するので，点 w は原 点を中心とする半径１の円をえがく。z ＝０ すなわち，w ＝ −１はこの円上にある。 ｜z｜＝１より よって，点 w は原点を中心とする半径１の w ＋１ ｜z｜＝ − i w −１ 円をえがく。ただし，w ＝１を除く。 ｜w ＋１｜ １＝ ｜i｜ ｜w −１｜ （答） ｜w −１｜＝｜w ＋１｜ よって，点w は２点−１，１の垂直二等分線， すなわち，虚軸をえがく。w ＝１は虚軸上に ないので，除外点はない。 （答） 虚軸 Ｈ２７２２Ｇ０８ 原点を中心とする半径１の円。 ただし，w ＝ １を除く。 Ｊ１−２−２ 問題４ 数列｛a n ｝が有限値αに収束すると仮定すると よって，n ≧２のとき α＝ α＋６（ ＞０） １ ０≦｜a n −３｜＜ ｜a 1 −３｜ ３ n−1 α2 ＝α＋６ １ lim ｜a 1 −３｜＝０であるから，はさみう n →∞ ３ n−1 （α−３） （α＋２）＝０ α＞０より，α＝３ 以下，数列｛an ｝が３に収束することを示す。 ｜a n＋1 −３｜＝｜ a n ＋６ −３｜ ちの原理より lim｜a n −３｜＝０ n →∞ a n ＝３がわかる。 すなわち，lim n →∞ ｜a n −３｜ ＝ ｜ a n ＋６ ＋３｜ lim a n ＝３ （答） n→∞ １ １ ＜ ｜a n −３｜＜ ｜a 1 −３｜ ３ ３ n 問題５ n × n 個のマスに分けられた板において，隣 らず，つねに n 2 −１本。その他の境界線は通れ り合う２つの正方形が共有する１辺を「境界線」 ないように仕切ればよいので，必要な仕切り板 とよぶと，境界線の本数は全部で２n（ n −１）本。 の枚数は全部で 問題６ 条件にそって，スタートからゴールまで進む ２n（ n −１）−（ n 2 −１）＝ n2 −２n ＋１（枚） とき，通過する境界線の本数は，道順にかかわ これは n の値が一定ならば，変わらない。 常用対数をとって，１５18 と１８15 の大小を比較 １５18 ＝１０21.1698 ，１８15 ＝１０18.828 より する。 １５18 ＞１８15 log 10１５18 ＝１８log 10（３×５） ＝１８｛ log10３＋（１− log 10２）｝ さらに １０18 ＜１８15 ＜１０19 より，１８15 は１９桁。 ＝１８×（０.４７７１＋０.６９９０） log 10６＝log 10（２×３）＝ log 10２＋ log 10３ ＝２１.１６９８ ＝０.３０１０＋０.４７７１＝０.７７８１ log 10１８15 ＝１５ log 10（２×３2 ） であるから ＝１５ （ log10２＋２ log 10３） ＝１５×（０.３０１０＋０.９５４２） ＝１８.８２８ 問題７ I ＝ （−e 0 ＝ −e −x −x π 2 ⑵ J ＝ （−e −x ）cos２x dx π 2 ＝２ e 0 0 ）sin２x dx π 2 π 2 ＝ −e sin２x ＋ e （sin２x ）dx 0 −x よって，最高位の数字は６である。 １５18 ＞１８15 （答） １８15 の桁数は１９桁で，最高位の数字は６ ⑴ 部分積分法を用いて π 2 log10６＜０.８２８＜ log10７ −x 0 cos２x dx ＝２J すなわち，I ＝２J が成り立つ。 −x π 2 π 2 cos２x −２ e −x sin２x dx 0 ＝e π − 2 ＋１−２I ＝e π − 2 ＋１−４J 0 よって π π １ ２ J ＝ （e − 2 ＋１），I ＝ （e − 2 ＋１） ５ ５ π π ２ １ （答）I ＝ （e − 2 ＋１），J ＝ （e − 2 ＋１） ５ ５ Ｈ２７２２Ｇ０８
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