平成 26 年度システム解析学及び演習期末試験解答の概略【1】 (1) (a) −1, −4 (b) −2 (c) 2 (d) 1 (2) ステップ応答を y(t) とすると，そのラプラス変換は Y (s) = G(s) 1 s+2 1 1 1 1 1 1 = = · − · − · . s s(s + 1)(s + 4) 2 s 3 s+1 6 s+4 1 1 −t 1 −4t − e − e . 2 3 6 jω + 2 2+j 11 − 7j (3) ω = 1 とすると G(jω) = = = . (jω + 1)(jω + 4) (1 + j)(4 + j) 34 5 7 , tan θ = tan G(jω) = − . A = |G(jω)| = 34 11 よって y(t) = 【2】 (1) 二次遅れ系の標準形 G(s) = a . 8 はζ = Kωn2 より，固有角周波数は ωn = 4, 2ζ · 4 = a より減衰係数 s2 + 2ζωn s + ωn2 (2) 題意より 0 < ζ < 1, すなわち 0 < a < 8. また，Kωn2 = 1 より，ステップ応答が収束するのは K = （最終値の定理を用いても同様となる．）【3】 (1) ブロック線図において，R(s) = 0 として D(s) と Y (s) の関係を求めると， KI Y (s) = P (s) D(s) − KP + Y (s) s P (s) s = 2 . s + 2s2 + (KP − 1)s + KI KI 1 + P (s) KP + s KI (2) ラウス表は以下のようになる．安定となるための条件は KP − 1 − > 0, KI > 0. 2 より Y (s) = s4 s ⎡ s2 s1 (3) D(s) = KP − 1 1 3 − 1 1 det ⎣ 2 2 1 − KP − 1 − KI 2 2 KP − 1 KI ⎡ det ⎣ KI ⎤ ⎦ = KP − 1 − KI 2 KI 2 KP − 1 − KI 2 0 ⎤ ⎦ = KI 1 s 1 1 である． lim y(t) = lim sY (s) = lim s · 2 · 2 = 2 2 t→∞ s→0 s→0 s s + 2s + (KP − 1)s + KI s KI 1 . 16 【4】（図は例として (a, b, c) = (6, 4, 2) として描いている．） • ボード線図を用いる場合：図Ａに示すように，P (s) のボード線図はゲイン・位相ともに単調減少であり，位相は ω → ∞ で −270◦ に近づく．K が正の定数であるから，一巡伝達関数のゲインは 20 log10 K|P (jω)|[dB], 位相は P (s) と同じで P (jω) × 180 ◦ π [ ] であり，ボード線図より位相が −180◦ となる位相交点が存在する．位相交差周波数を ωp とすると， – K|P (jωp )| < 1 すなわち (0 <)K < 1/|P (jωp)| のときフィードバック系は安定， – K|P (jωp )| ≥ 1 すなわち K ≥ 1/|P (jωp)| のときフィードバック系は不安定となることがわかる． • 根軌跡を用いる場合：根軌跡を図Ｂに示す．極は実軸の負の部分にある．よって，十分小さな K に対して根軌跡は複素平面の虚軸を含まない左半平面にあるから，フィードバック系は安定である．次に， −a − b − c P (s) には零点がないので，3 本の根軌跡は無限遠点に向かう．根軌跡の漸近線の交点は ,実 3 ◦ ◦ ◦ 軸との角度は 60 , 180 , 300 となる．このうち，後者の 2 本の漸近線は右半平面を通って無限遠点へ向かうので，根軌跡のうちこれらに漸近する 2 本は K を大きくすると右半平面に入る．よって，K を大きくしてゆくとフィードバック制御系は不安定になる． Gain [dB] 0 −100 −1 0 10 10 ω [rad/s] 1 2 10 10 0 −90 −180 −270 −2 −1 10 0 10 10 ω [rad/s] 1 2 10 10 図Ａ 10 5 Imag Phase [deg] −200 −2 10 0 −5 −10 −8 −6 −4 −2 Real 図Ｂ 0 2