数学検定 第２６３回２級２次：数理技能検定 問題１ ⑴ （ⅰ） −８ （答） （ⅱ） a 2 −８ （ⅲ）８a −２４ 解 答 ２−２−１ （ⅲ） a ＞４ …③のとき ｜８a −２４−４｜＝｜８a −２８｜＜８ すなわち −８＜８a −２８＜８ （ⅰ） a ＜０のとき ⑵ ｜−８−４｜＝１２＞８ これを解いて となり，不適。 ９ ５ ＜ a ＜ …④ ２ ２ （ⅱ） ０≦a ≦４ …①のとき ③，④より ｜a 2 −８−４｜＝｜a 2 −１２｜＜８ ４＜a ＜ すなわち −８＜ a 2 −１２＜８ これを解いて ９ ２ （ⅰ）∼（ⅲ）より ２＜a ＜ ９ ２ −２ ５＜a＜−２，２＜a＜２ ５ …② （答）２＜a ＜ ①，②より ９ ２ ２＜a ≦４ 問題２ ⑴ 全体の場合の数は，９！通り。 特定の女子Ａ，Ｂをまとめて１人とみなすと， 並び方の数は８人が並ぶ順列の総数に等しく， ８！通り。その並び方のおのおのに対して，Ａ，Ｂの並び方は２！通りあるから，求める確率は ８！×２！ ２ ＝ ９ ９！ （答） 右の図のように，まず女子５人を並べると，その並び方は５！通り。 ⑵ 男子４人は，その両端もしくは女子と女子の間（①∼⑥）のどこか に１人ずつ並べばよいので，その並び方は，6Ｐ4 通り。 女 女 女 女 ２ ９ 女 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ よって，求める確率は ５ ５！× 6Ｐ4 ６×５×４×３ ＝ ＝ ９×８×７×６ ４２ ９！ （答） 問題３ ５ ４２ ２ ＞０，２− ＞０であるから，相加平均・相乗平均の大小関係より x x ２ ＋２− x x ≧ ２ ×２− ＝１ ２ x x すなわち f ）＝２ ＋２− ≧ ２ （x x x 等号は２ ＝２− ，すなわち x ＝０のとき，成り立つ。 x x 以上より，f（x ）は x ＝０のとき，最小値２をとる。 （答） x ＝０のとき， 最小値２ Ｈ２６０６Ｇ１２ ２−２−２ 問題４ ⑴ （答）α＝−２ ⑵ ⑴より，a n＋1 ＋２＝３ （a n＋２） bn ＝ a n ＋２ とおくと b n＋1 ＝３bn 問題５ b 1 ＝ a 1 ＋２＝３ 図３の色のついた正方形と色のついていない 正方形の数は，どちらも１８個。埋めつくすこ とができたとして，それぞれの個数を x，y を用 いて表すと よって，数列｛ b n ｝は初項３，公比３の等比 数列であるから b n ＝３n a n＝b n−２より a n ＝３n −２ （答） a n ＝３n −２ これを解くと ９ x ＝ y ＝ ２ となり，x ，y が整数であることに矛盾する。 よって，埋めつくすことはできない。 x ＋３y ＝１８ ３x ＋ y ＝１８ 問題６ 仰角が４０°であった地点からタワーまでの距離を d m，求める タワーの高さを h m とおくと，右の図より h −１.８＝ （１００＋ d ）tan３５°＝０.７００２（１００＋d ） h −１.８＝ d tan４０°＝０.８３９１d （h−1.8）ｍ 35° これを解いて 40° h ＝４２４.７… dｍ ≒４２５ （m） 100 ｍ 1.8 ｍ （答） ４２５ m 問題７ １ ⑴ （答）ℓ1：y ＝２x −２，ℓ2：y ＝ − x ＋３ ２ ⑵ この放物線とℓ2 とのもう１つの交点の x 座 標は １ １ x 2 ＝ − x ＋３ ２ ２ x 2 ＋ x −６＝０ （ x ＋３） （ x −２）＝０ より，x ＝ −３ −３≦ x ≦２のとき １ １ − x ＋３≧ x 2 ２ ２ であるから，求める面積 S は 2 １ １ S ＝ − x ＋３− x 2 dx ２ ２ −3 １ １ ＝ − x 2 ＋３x − x 3 ４ ６ ＝ −１＋６− ＝ 2 −3 ２７ ９ ８ − − −９＋ ６ ４ ６ １２５ １２ （答）S ＝ Ｈ２６０６Ｇ１２ １２５ １２
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