2014 年度 幾何学演義 II 演習・小テスト第１回 (11/5)
• 試験時間は４限の９０分です。
• 持ち込み不可です。
記号.
• n は正の整数，r は正の実数とする．
• a ∈ Rn に対し，Bn (a, r) = {x ∈ Rn | |x − a| < r} とする．ここで | | は Rn のユー
クリッド距離である．
• 同値関係が与えられたとき x の同値類を [x] で表す．
問題１. J = (0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1} とする．Bn (0, 1) と J の n 個の直積 J n =
J × J × · · · × J は同相であることを示せ．
問題２. X = {(x, y) ∈ R2 | y = 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | y = 1} とする．この位相空間 X 上の
同値関係を
(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 )
⇔
x1 = x2 かつ x1 6= 0 または (x1 , y1 ) = (x2 , y2 )
で定める．商空間 Y = X/ ∼ はハウスドルフでないことを示せ．
問題３. X = S 1 とする．有限群 G = Z/5Z の X への作用 α : G × X → X を
α([m], z) = e
2πim
5
z
で定める．ここで m ∈ Z である．この群作用による X の商空間を Y とする．
(1) Z = S 1 とし，f : Y → Z を f ([z]) = z 5 で定める．f は well-defined かつ全単射である
ことを示せ．
(2) f は連続写像であることを示せ．
1
2
2014 年度 幾何学演義 II 演習・小テスト第１回 (11/5)
問題１解答. 方針：Bn (0, 1) から Rn への同相写像 fn と J n から Rn への同相写像 Fn を構
成する．
写像 fn : Bn (0, 1) → Rn を
x
1 − |x|
で定める．fn は同相写像である．
（証明は問 1.3 でやったので略）
fn (x) =
u : J → B1 (0, 1) = (−1, 1) を u(x) = 2x − 1 とおき，Fn : J n → Rn を
Fn (x) = ((f1 ◦ u)(x1 ), . . . , (f1 ◦ u)(xn ))
で定める．ただし f1 は上で定めた fn で n = 1 としたものである．Fn が同相写像である
ことは u, f1 が同相写像であることから従う．
以上より fn−1 ◦ Fn : J n → Bn (0, 1) は同相写像である．よって Bn (0, 1) と J n は同相．
問題２解答. (方針：おおざっぱに言えば X は”２個原点があるような数直線”である．こ
の２つの原点を分離するような近傍は存在しないことを示す．)
P = [(0, 0)] ∈ Y , Q = [(0, 1)] ∈ Y とする ((0, 0) 6∼ (0, 1) より P 6= Q である)．P の任意
の近傍 U と Q の任意の近傍 V は U ∩ V 6= ∅ であることを示せばよい．π : X → Y を商写
像とする．
U ⊂ Y を P の近傍とすると，商位相と相対位相の定義より R2 の開集合 U˜ で U˜ ∩ X =
π −1 (U ) となるものが存在する．π −1 (P ) は１点 (0, 0) のみから成るから (0, 0) ∈ U˜ が成り
˜ は R2 の開集合だから R2 の通常の位相の定義より) B2 ((0, 0), δ) ⊂ U˜ となる正の
立つ．(U
実数 δ が存在する．Q の近傍 V に対しても同様に V˜ ⊂ R2 をとると，B2 ((0, 1), ) ⊂ V˜ と
なる正の実数 が存在する．
0 < x < min{δ, } を満たす x をとる．(x, 0) ∈ B2 ((0, 0), δ)∩ ⊂ U˜ ∩X だから [(x, 0)] ∈ U .
同様にして [(x, 1)] ∈ V ．[(x, 0)] = [(x, 1)] であるから U ∩ V 6= ∅ が示せた．
問題３解答. (1) f が well-defined であることと単射であること: well-defined を示すに
は z, z 0 ∈ X に対し，z ∼ z 0 ⇒ f (z) = f (z 0 ) を示せばよい．また単射を示すには z, z 0 ∈ X
に対し，f ([z]) = f ([z 0 ]) ⇒ z ∼ z 0 を示せばよい．今、
f ([z]) = f ([z 0 ])
⇔
z 5 = (z 0 )5
⇔
z = z0e
2πim
5
(∃m ∈ Z) ⇔ z ∼ z 0
だから well-defined であることと単射性のどちらも示せた．
全射であること：w ∈ Z に対して ξ 5 = w を満たす ξ をひとつとれば ξ ∈ S 1 かつ f ([ξ]) = w
となる．よって f は全射．
(2) π : X → Y を商写像とする f˜ : X → Z を f˜(z) = f (π(z)) = z 5 で定める．(f˜ は C から
C への多項式写像 z 5 の制限であるから連続である.)
f˜ が連続だから，任意の開集合 U ⊂ Z に対して f˜−1 (U ) ⊂ X は開集合である．f˜−1 (U ) =
def
π −1 (f −1 (U )) であることと、商空間の位相の定義 ( V ⊂ Y が開集合 ⇔ π −1 (V ) ⊂ X が開
集合) より f −1 (U ) は開集合であることが分かった．よって f は連続である．
© Copyright 2024 ExpyDoc
