A B C D E F G H 1 x a A B C D E F G H A 1 x a A B C D E F G H B 1

箱にひもをかける最短の長さの考察
（中学校３年三平方の定理の活用）
1
D
右図のような直方体の箱に，頂点 A から頂点 G まで
1
ひもをかけます。ひもをどのようにかければ，その長さ
A
がもっとも短くなるでしょうか。
x
a
B
D
1
x
A
a
H
a
G
E
F
D
1
C
A
B
G
C
D
1
C
B
H
E
ひもの長さが短くなるかけ方は次の３通りある。
A
C
C
A
x
H
B
G
E
F
B
H
G
E
F
F
A について，展開図を書いて調べる。
A
このときの AG の長さを l1 とおくと，
√
l1 = a2 + (x + 1)2
a
2
l1 2 = a::::::::
+ x2 + 2x + 1
B
D
このときの AG の長さを l2 とおくと，
√
l2 = 12 + (x + a)2
1
A
C
l1
E
B について，展開図を書いて調べる。
2
l2 2 = a::::::::
+ x2 + 2ax + 1
x
a
x
1
F
C
G
G
l2
x
a
B
H
F
G
C について，展開図を書いて調べる。
このときの AG の長さを l3 とおくと，
√
l3 = x2 + (a + 1)2
2
2
2
a
l3
D
C
1
l3 = a::::::::
+ x + 2a + 1
ここで，l1 2 , l2 2 , l3 2 の両辺に a2 + x2 を引いたものを，
L1 , L2 , L3 とおくと，
L1 = 2x + 1, L2 = 2ax + 1, L3 = 2a + 1
A
x
B
(1){
A と
B の比較
L1：y = 2x + 1
L2：y = 2ax + 1
右図より


 a > 1 のとき L1 < L2 ⇐⇒ l1 < l2
a = 1 のとき L1 = L2 ⇐⇒ l1 = l2


a < 1 のとき L1 > L2 ⇐⇒ l1 > l2
(2){
A と
C の比較
L1：y = 2x + 1
L3：y = 2a + 1
右図より


 x < a のとき L1 < L3 ⇐⇒ l1 < l3
x = a のとき L1 = L3 ⇐⇒ l1 = l3


x > a のとき L1 > L3 ⇐⇒ l1 > l3
(3){
B と
C の比較
L2：y = 2ax + 1
L3：y = 2a + 1
右図より


 x < 1 のとき L2 < L3 ⇐⇒ l2 < l3
x = 1 のとき L2 = L3 ⇐⇒ l2 = l3


x > 1 のとき L2 > L3 ⇐⇒ l2 > l3
以上を
a と x でまとめると


a < x < 1 のとき l2 < l3 < l1 · · · 
1




a < 1 < x のとき l3 < l2 < l1 · · · 2



 1 < a < x のとき l < l < l · · · 3
3
1
2

1 < x < a のとき l1 < l3 < l2 · · · 4





x < 1 < a のとき l1 < l2 < l3 · · · 5



 x < a < 1 のとき l < l < l · · · 6
2
1
a>1
L2 L1
y6
1
-
x
O
L1
y6
L3
2a + 1
1
O
-
x
a
L2
y6
L3
2a + 1
1
O
-
x
1
a=x
a6
4
5
3
3
1
このことより，1 → c, x → b とでもおけば，3 辺
の長さに関係した最短のひもの長さがわかる。


C が最短
 AB が最長辺 ⇐⇒ l3 が最短 · · · AD が最長辺 ⇐⇒ l2 が最短 · · · B が最短


AE が最長辺 ⇐⇒ l1 が最短 · · · A が最短
a<1
L2
6
2
1
O
1
-
x
2
D
右図のような直方体の箱に，頂点 A から頂点 G まで
c
ひもをかけます。ひもをどのようにかければ，その長さ
C
A
がもっとも短くなるでしょうか。ただし，c < b < a と
a
する。
B
H
b
G
E
ひもの長さが短くなるかけ方は次の３通りある。
A
B
D
c
a
A
b
H
C
D
c
C
F
c
C
A
b
G
E
C
A
a
B
D
H
G
E
F
F
A について，展開図を書いて調べる。
A
このときの AG の長さを l1 とおくと，
√
l1 = b2 + (a + c)2
b
2
l1 2 = a::::::::::::::
+ b2 + c2 + 2ac
B
D
このときの AG の長さを l2 とおくと，
√
l2 = c2 + (a + b)2
c
A
C
l1
E
B について，展開図を書いて調べる。
2
l2 2 = a::::::::::::::
+ b2 + c2 + 2ab
B
H
b
G
E
F
a
B
a
c
F
C
G
G
l2
a
B
b
H
F
G
C について，展開図を書いて調べる。
このときの AG の長さを l3 とおくと，
√
l3 = a2 + (b + c)2
2
l3 2 = a::::::::::::::
+ b2 + c2 + 2bc
ここで，l1 2 , l2 2 , l3 2 について a2 + b2 + c2 は共通なので，
c < b < a より，∴ 2bc < 2ac < 2ab
よって，
C が最短となる。
b
l3
D
A
C
c
a
B

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