箱にひもをかける最短の長さの考察 (中学校3年 三平方の定理の活用) 1 D 右図のような直方体の箱に,頂点 A から頂点 G まで 1 ひもをかけます。ひもをどのようにかければ,その長さ A がもっとも短くなるでしょうか。 x a B D 1 x A a H a G E F D 1 C A B G C D 1 C B H E ひもの長さが短くなるかけ方は次の3通りある。 A C C A x H B G E F B H G E F F A について,展開図を書いて調べる。 A このときの AG の長さを l1 とおくと, √ l1 = a2 + (x + 1)2 a 2 l1 2 = a:::::::: + x2 + 2x + 1 B D このときの AG の長さを l2 とおくと, √ l2 = 12 + (x + a)2 1 A C l1 E B について,展開図を書いて調べる。 2 l2 2 = a:::::::: + x2 + 2ax + 1 x a x 1 F C G G l2 x a B H F G C について,展開図を書いて調べる。 このときの AG の長さを l3 とおくと, √ l3 = x2 + (a + 1)2 2 2 2 a l3 D C 1 l3 = a:::::::: + x + 2a + 1 ここで,l1 2 , l2 2 , l3 2 の両辺に a2 + x2 を引いたものを, L1 , L2 , L3 とおくと, L1 = 2x + 1, L2 = 2ax + 1, L3 = 2a + 1 A x B (1){ A と B の比較 L1:y = 2x + 1 L2:y = 2ax + 1 右図より a > 1 のとき L1 < L2 ⇐⇒ l1 < l2 a = 1 のとき L1 = L2 ⇐⇒ l1 = l2 a < 1 のとき L1 > L2 ⇐⇒ l1 > l2 (2){ A と C の比較 L1:y = 2x + 1 L3:y = 2a + 1 右図より x < a のとき L1 < L3 ⇐⇒ l1 < l3 x = a のとき L1 = L3 ⇐⇒ l1 = l3 x > a のとき L1 > L3 ⇐⇒ l1 > l3 (3){ B と C の比較 L2:y = 2ax + 1 L3:y = 2a + 1 右図より x < 1 のとき L2 < L3 ⇐⇒ l2 < l3 x = 1 のとき L2 = L3 ⇐⇒ l2 = l3 x > 1 のとき L2 > L3 ⇐⇒ l2 > l3 以上を a と x でまとめると a < x < 1 のとき l2 < l3 < l1 · · · 1 a < 1 < x のとき l3 < l2 < l1 · · · 2 1 < a < x のとき l < l < l · · · 3 3 1 2 1 < x < a のとき l1 < l3 < l2 · · · 4 x < 1 < a のとき l1 < l2 < l3 · · · 5 x < a < 1 のとき l < l < l · · · 6 2 1 a>1 L2 L1 y6 1 - x O L1 y6 L3 2a + 1 1 O - x a L2 y6 L3 2a + 1 1 O - x 1 a=x a6 4 5 3 3 1 このことより,1 → c, x → b とでもおけば,3 辺 の長さに関係した最短のひもの長さがわかる。 C が最短 AB が最長辺 ⇐⇒ l3 が最短 · · · AD が最長辺 ⇐⇒ l2 が最短 · · · B が最短 AE が最長辺 ⇐⇒ l1 が最短 · · · A が最短 a<1 L2 6 2 1 O 1 - x 2 D 右図のような直方体の箱に,頂点 A から頂点 G まで c ひもをかけます。ひもをどのようにかければ,その長さ C A がもっとも短くなるでしょうか。ただし,c < b < a と a する。 B H b G E ひもの長さが短くなるかけ方は次の3通りある。 A B D c a A b H C D c C F c C A b G E C A a B D H G E F F A について,展開図を書いて調べる。 A このときの AG の長さを l1 とおくと, √ l1 = b2 + (a + c)2 b 2 l1 2 = a:::::::::::::: + b2 + c2 + 2ac B D このときの AG の長さを l2 とおくと, √ l2 = c2 + (a + b)2 c A C l1 E B について,展開図を書いて調べる。 2 l2 2 = a:::::::::::::: + b2 + c2 + 2ab B H b G E F a B a c F C G G l2 a B b H F G C について,展開図を書いて調べる。 このときの AG の長さを l3 とおくと, √ l3 = a2 + (b + c)2 2 l3 2 = a:::::::::::::: + b2 + c2 + 2bc ここで,l1 2 , l2 2 , l3 2 について a2 + b2 + c2 は共通なので, c < b < a より,∴ 2bc < 2ac < 2ab よって, C が最短となる。 b l3 D A C c a B
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