470_斜回転体の体積計算の解法研究練習問題斜回転体の体積計算の解法研究解答練習問題解答１．不等式 x − x ( y ( x で表される領域は，右図の境界線上の点を含む斜線部分である． 2 放物線 y = x − x と直線 y = x 上に 2 点 y P ( x , x − x) ，Q ( x , x) (0 ( x ( 2) をそれぞれとると 2 PQ = x − ( x − x) = 2 x − x 点 P から直線 y = x に下した垂線の足を H とし， 2 OH＝u，PH＝v とおくと，△PHQ は直角二等辺三角形だから PQ 2 x − x 2 v＝PH＝ = 2 y= x 2 2 2 y= x 2 - x 2U 2 Q0 x , x 1 H 1 u v P0x , x 2 - x1 1 x O x 2 y =-x 2 また，u＝OQ−QH＝ 2 x − 2 x − x 2 = x 2 より 2 2 du = 2 xdx u 0→2 2 x 0→2 よって，求める体積を V とすると 2 2  V =π 0 2 2    v du = π   2 x − x  ⋅ 2 xdx 2  0  2 1 2 1 1 2  ( x 5 − 4 x 4 + 4 x 3 )dx = π  1 x 6 − 4 x 5 + x 4  = π   0 5 2 0 2  6 2 1 1 1 ( ) = π 32 − 128 + 16 = 8 2 π 5 15 2 3 q y = x − x において， y′ = 2 x − 1 より，原点における接線の方程式は y = − x となり，直線 y = x に垂直となっている． 2 したがって，u の定積分区間は 0 ( u ( 2 2 でよいことを確認すること．２．(1) 求める体積を Vy とすると 1 y =-x  x 2 dy − 1 ⋅ π ⋅ 22 ⋅ 2 − 1 ⋅ π ⋅12 ⋅1 Vy = π  −2 3 3 y y=x 1 1 2 1 1  (2 − y )dy − 8 π − π =π −2 3 3 1 1 1 1 -2 -1 O -1 1 = π  2 y − 1 y 2  − 3π 2  −2  = 15 π − 3π = 9 π 2 2 -2 y =2-x 2 −1− 1 2 x http://www.geocities.jp/ikemath (2) 放物線 y = 2 − x と直線 y = − x 上に 2 点 2 P ( x , 2 − x ) ，Q ( x , − x) (1( x ( 2) をそれぞれとると 2 y 2 y =-x PQ = 2 − x − (− x) = 2 + x − x 点 P から直線 y = − x に下した垂線の足を H とし， 2 2 1 P0x , 2 - x 21 OH＝u，PH＝v とおくと，△PHQ は直角二等辺三角形だから PQ 2 + x − x 2 v＝PH＝ = 2 -1 u H -2 より du = 2 x + 1 xdx 2 よって，求める体積を V− x とすると 2 2 x 1 v Q0 x , - x 1 2 2 u＝OQ−QH＝ 2 x − 2 + x − x 2 2 = x + x−2 2 2 2 O -1 また  V− x = π  0 y=x y =2-x 2 u 0→2 2 x 1→ 2 2    v du = π   2 + x − x  ⋅ 2 x + 1 dx 2 2  1  2 1 2 1 1 2  (2 + x − x 2 ) 2 (2 x + 1)dx = π  2 2 1 1 1 1 2  (2 x5 − 3 x 4 − 8 x 3 + 5 x 2 + 12 x + 4)dx = π  2 2 1 1 1 1 = π  1 x 6 − 3 x5 − 2 x 4 + 5 x3 + 6 x 2 + 4 x  1 5 3 2 2  3 64 − 1 − 3(32 − 1) − 2(16 − 1) + 5(8 − 1) + 6(4 − 1) + 4(2 − 1) = π 3 5 3 2 2 2 { ( ) = π 21 − 93 − 30 + 35 + 18 + 4 = 2 π × 91 5 3 4 15 2 2 = 91 2 π 60 −2− }