No.2 解答［1］ (1) 点 P : (x1,y1) から直線 l : ax + by + c = 0 におろした

No.2 解答
［１］
(1) 点 P : (x1 , y1 ) から直線 l : ax + by + c = 0 におろした垂線の足を H : (x0 , y0 ) とすれば，線分 P H は
直線 l の法線ベクトルと平行なので，
(
)
( )
x1 − x0
a
=t
(t ∈ R)
y1 − y0
b
√
と表わせる．したがって，(x0 , y0 ) = (x1 − ta, y1 − tb)．また，P H = |t| a2 + b2 ．ここで，点 (x0 , y0 ) は
直線 l の上にあるので，
a(x1 − ta) + b(y1 − tb) + c = 0
したがって，
t=
これから，
ax1 + by1 + c
a2 + b2
√
|ax1 + by1 + c|
√
P H = |t| a2 + b2 =
a2 + b2
を得る．
(2) 点 P : (x1 , y1 , z1 ) から平面 π : ax + by + cz + d = 0 におろした垂線の足を H : (x0 , y0 , z0 ) とすれば，
線分 P H は平面 π の法線ベクトルと平行なので，


 
x1 − x0
a


 
 y1 − y0  = t  b  (t ∈ R)
z1 − z0
c
√
と表わせる．したがって，(x0 , y0 , z0 ) = (x1 − ta, y1 − tb, z1 − tc)．また，P H = |t| a2 + b2 + c2 ．ここ
で，点 (x0 , y0 , z0 ) は平面 π の上にあるので，
a(x1 − ta) + b(y1 − tb) + c(z1 − tc) + d = 0
したがって，
t=
これから，
ax1 + by1 + cz1 + d
a2 + b2 + c2
√
|ax1 + by1 + cz1 + d|
√
P H = |t| a2 + b2 + c2 =
a2 + b2 + c2
を得る．
［２］
(1) 二直線 a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = 0 が平行
( ) ( )
a1
a2
a1
b1
⇔ それぞれの法線ベクトル
,
が平行 ⇔
= ．
a2
b2
b1
b2
(2) 二平面 a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 が平行
   
a1
a2
a1
b1
c1
   
⇔ それぞれの法線ベクトル  b1 ,  b2  が平行 ⇔
=
= ．
a2
b2
c2
c1
c2
1
［３］
(1) 点 (x1 , y1 ) を通り，直線 ax + by + c = 0 に平行な直線を l で表わす．このとき，
点 (x, y) が直線 l の上にある
(
)
( )
x − x1
a
が l の法線ベクトル
と直交する
⇔
y − y1
b
( ) (
)
a
x − x1
⇔ a(x − x1 ) + b(y − y1 ) =
·
=0
b
y − y1
(2) 点 (x1 , y1 , z1 ) を通り，平面 ax + by + cz + d = 0 に平行な平面を π で表わす．このとき，
点 (x, y, z) が平面 π の上にある


 
x − x1
a


 
⇔  y − y1  が π の法線ベクトル  b  と直交する
z − z1
c
  

a
x − x1
  

⇔ a(x − x1 ) + b(y − y1 ) + c(z − z1 ) =  b  ·  y − y1  = 0
z − z1
c
［４］
(1) 二直線 a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = 0 のそれぞれの法線ベクトルのなす角は θ または π − θ に
等しい．したがって，
a1 a2 + b1 b2
√
cos θ = ± √ 2
a1 + b21 a22 + b22
(2) 二平面 a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 のそれぞれの法線ベクトルのなす角は θ ま
たは π − θ に等しい．したがって，
a1 a2 + b1 b2 + c1 c2
√
cos θ = ± √ 2
a1 + b21 + c21 a22 + b22 + c22
［５］
x − x1
y − y1
z − z1 x − x2
y − y2
z − z2
=
=
,
=
=
が平行
L1
M1
N1
L2
M2
N2
   
L1
L2
M1
N1
L1
   
⇔ それぞれの方向ベクトル M1 , M2  が平行 ⇔
=
=
．
L2
M2
N2
N1
N2
(1) 二直線
(2) 点 (x1 , y1 , z1 ) を通り，直線
y−b
z−c
x−a
=
=
に平行な直線を l で表わす．このとき，
L
M
N
点 (x, y, z) が直線 l の上にある


 
x − x1
L


 
⇔  y − y1  が l の方向ベクトル M  と平行

z − z1



N
x − x1
L


 
⇔  y − y1  = t M  (t ∈ R) と表わせる
z − z1
N
2
x − x1
y − y1
z − z1 x − x2
y − y2
z − z2
=
=
,
=
=
のそれぞれの方向ベクトルのなす角は
L1
M1
N1
L2
M1
N2
θ または π − θ に等しい．したがって，
(3) 二直線
L1 L2 + M1 M2 + N1 N2
√
cos θ = ± √ 2
L1 + M12 + N12 L22 + M22 + N22
［６］
(1) 直線 l :
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
と平面 π : ax + by + cz + d が平行
L
M
N
   
L
a
   
⇔ 直線 l の方向ベクトルと平面 π の法線ベクトルが直交する ⇔ aL + bM + cN =  b  · M  = 0．
N
c
π
x − x1
y − y1
z − z1
(2) sin(π − θ) = sin θ なので，0 < θ ≤ と仮定してよい．このとき，直線
=
=
の
2
L
M
N
π
方向ベクトルと平面 ax + by + cz + d = 0 の法線ベクトルのなす角は ± θ に等しい．したがって，
2
(π
)
|aL + bM + cN |
√
sin θ = cos
±θ = √
2
2
a + b2 + c2 L2 + M 2 + N 2
が成立する．
3

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