練習13 図はABを直径とする半円AB上に点Cをとり、ACを直径とする半円と BCを直径とする半円を描いたものです。図のような長さのとき、斜線部分の面積を求めなさい。練習14 図において4点A,B,C,Dは円O上にあり、点Pは2直線AB,CDの交点である。このとき、∠APDの大きさは何度ですか。練習13 解き方）『ABが円の直径である』 → 『円周角は90°』 ABは円の直径であるから　∠ACB = 90° 1 よって △ ABC = × 8 × 6 = 24 2 また、三平方の定理より　AC + BC = AB AC = 8, BC = 6 を代入して計算すると AB = 10 cm ※従って半円ACBの半径は5 1 25 半円ACBの面積 = × × 5 = 2 2 S1 です。 S2 斜線部分と直角三角形で囲まれる部分の弓形を左から順にS1, S2とおく。 25 S1 + S2 = 半円ACB－ △ ABC　であるから　S1 + S2 = − 24 2 求める面積 = 半円AC + 半円CB − (S1 + S2)　なので 1 1 25 求める斜線部分の面積 = × × 4 + × × 3 − − 24 = 24 2 2 2 よって　24 cm ・・・（答 ※普通に計算すると上のようになりますが、斜線部分の面積の和が △ ACBの面積に等しくなることに気が付けば、たちまちに答が出ます。これについて沙羅さんの解説を用いて説明しておきますと・・・ BC＝ , AC＝ , AB＝とおくと ABは円の直径であるから、∠C = 90°になるので △ ACBに三平方の定理を用いて + ＝・・・ ★ 1 一方、半円CBの面積＝ × × ＝ 2 2 8 同様に半円ACの面積＝ 8 , 半円ABの面積＝よって半円CBの面積＋半円ACの面積＝ 8 + 8 = 8 ⇒ これは半円ABの面積に等しいから、半円ACと半円BCの面積の和は半円ABの面積に等しくなる。 (★ より) 一方、左の斜線部分の面積＝半円ACの面積－三日月形ACの面積右の斜線部分の面積＝半円BCの面積－三日月形CBの面積　で表せるから左の斜線部分の面積＋右の斜線部分の面積＝半円ACの面積 + 半円BCの面積－三日月形ACの面積＋三日月形CBの面積＝半円ABの面積－三日月形ACの面積 + 三日月形CBの面積＝ △ ACB 以上から、斜線部分の面積の和は △ ACBに等しくなることがわかります。練習14 解き方) 『同一弧上の円周角は等しい』を使います。弧BCに着目すると　∠BDC = ∠BAC = 30° ACとBDの交点をEとすると ∠AEB = 180° − ∠BEC = 180° − 75° = 105° ∠PBD = ∠BAE + ∠AEB = 30° + 105° = 135° よって　∠APD = 180° − ∠BDC + ∠PBD = 180° − 30° + 135° = 15° ・・・（答 E