必修新演習 中 3 数学 指導のポイント 入試直前必見情報～中 3 数学～ 正答率が示す「解けそうで解けない問題」 を最終チェック！！ ［連立方程式の利用（増減に関する問題）］ ～秋田 大問 1 ⑼ 正答率 37.6％～ ある中学校の昨年度の生徒数は 230 人であった。今年度の生徒数は，昨年度と比べ，男 子が 10%増え女子が 5 %減り，全体で 5 人増えた。昨年度の男子，女子それぞれの生徒数を 求めなさい。 解き方 昨年度の男子を x 人，女子を y 人とおくと，昨年度の人数について， x ＋ y ＝ 230 …① 増えた人数について，0.1x ＋（－ 0.05y）＝ 5 …② ①，②を連立方程式として解くと，x ＝ 110（人），y ＝ 120（人） 連立方程式の利用 連立方程式を利用して，文章問題を 解くことは入試に頻出である。その中 でも割合を使う場合はよくあり，計算 ミスを誘発するので，必ず検算をさせ るように指導する。左記のような問題 を使って，5 %を 0.05 として立式する ことや，②の式を簡単にするためには 100 倍 す る こ と，100 倍 す る と 0.1 → 10，5 → 500 になること等，方程式の 解き方があやふやになっていないか確 認することを勧める。 テキスト P7 例題 3 ⑵ ［反比例のグラフ （格子点）］ ～青森 大問 1 ⑸ 正答率 28.2％～ 8 y ＝ x のグラフ上の点で，x 座標，y 座標の値がともに整数となる点は何個あるか，求め なさい。 反比例のグラフ 関数の分野で反比例は，中 1 で学習 したきり触れられることが少ない。左 記の問題は決して難しくないが，学習 解き方 x が 8 の約数であれば，y は整数になる。 （x，y） ＝ （1，8） ， （2，4） ， （4，2） ， （8，1） してから時間がたってしまうと，瞬時 また，x，y が負の数になる場合もあるので， には対応し辛く，点数を落としてしま （x，y） ＝（－ 1，－ 8），（－ 2，－ 4），（－ 4，－ 2），（－ 8，－ 1） う。中 3 の受験対策期でも，一度は取 よって，8 個である。 り組んで感覚を取り戻しておく必要が ある。 テキスト P14 例題 1 ⑵ サクサクトレーニング 3 大問 1 ⑵ ［変化の割合］ ～長野 問 1 ⑷ 正答率 31％～ 関数 y ＝ x2 について，x の値が a から a ＋ 2 まで増加したときの変化の割合が－ 8 であ る。a の値を求めなさい。 y の増加量 2 － a2 （a ＋ 2） 解き方 変化の割合＝ x より，（a ＋ 2）－ a ＝－ 8 の増加量 これを解いて，a ＝－ 5 変化の割合 中 2 で学習したきり触れられる機会 が少ないので，言葉の概念すら忘れが ちになるだろう。また，x の値を文字 で表していることも戸惑う原因の一つ である。しかし，難しい問題ではない ので，受験対策期に復習しておくこと で，簡単に得点に結び付けられる。冬 期テキストで一度解かせておこう。 テキスト P15 例題 4 ⑶ ［場合の数 （樹形図や表を使って場合を書き出す）］ ～埼玉 大問 2 ⑴ 正答率 12％～ Ａさん，Ｂさん，Ｃさん，Ｄさんの 4 人がそれぞれひとり 1 個ずつのプレゼント a，b，c， d を持ち寄り，パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して，全員が自 分の持ってきたプレゼント以外のものを 1 個ずつ受け取るとき，この受け取り方は全部で何 通りあるか求めなさい。 解き方 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ a ― d ― c b ― c ― d ― a d ― a ― c Ａが c，d をもらう場合も同様に 3 通りずつあるので，全部で 3 × 3 ＝ 9（通り） 場合の数 近年の入試の傾向では，全ての通り を挙げてもそれほど多くない。計算で 要領良く場合の数を求めることよりも， 漏れなく書き出すことを優先して練習 させた方が，確実に得点できるように なる。樹形図や表などを活用し，漏れ なく書き出せるように，生徒自身の中 でルールを決めさせるとよい。 テキスト P20 演習問題Ａ大問 4 ⑴ ［相似な図形の線分の比］ ～秋田 大問 1（12） 正答率 22％～ 右の図で，線分 AB と線分 CD は平行であり，線 C 分 AD と 線 分 BC の 交 点 を E と す る。 点 F は 線 分 相似な三角形の代表例として，左記 の問題の△ABE ∽△DCE（砂時計型） A CD 上 の 点 で あ り， 線 分 EF と 線 分 BD は 平 行 で あ 相似な図形の線分の比 や△CEF ∽△CBD（ピラミッド型）が E る。AB ＝ 3 cm，BD ＝ 6 cm，CD ＝ 5 cm で あ る と F き，線分 EF の長さを求めなさい。 B ある。平行線を用いた図形では，まず 含まれていると考えてよい。 D EF：BD を使えば EF を求められる → CE：CB または CF：CD が分かれ 解き方 △ABE ∽△DCE なので，BE：CE ＝ AB：DC ＝ 3：5 ば，ピラミッド型で EF が求められる △CEF ∽△CBD なので，EF：BD ＝ CE：CB → CE：CB ならば，砂時計型で求め よって，5：（5 ＋ 3）＝ EF：6 15 この比例式を解いて，EF ＝ 4 cm られる。砂時計型とピラミッド型に慣 れておけば，このような解法の手順も 見つけやすくなる。冬期テキストで練 習を積ませよう。 テキスト P28 演習問題Ａ大問 4 サクサクトレーニング 5 大問 3 ⑵ ［最短距離 （展開図の利用）］ ～長崎Ａ 大問 4 問 4 正答率 8.6％～ 右の図のように，三角すい ABCD があり，∠ADB ＝∠ADC ＝ A ∠BDC ＝ 90° ，AD ＝ 6 cm，BD ＝ CD ＝ 3 cm である。このとき， 線になる。入試では，最短距離の長さ ＋ PD が最小となるとき，BP ＋ PD の長さは何 cm か。 を求めさせるだけではなく，作図させ る場合もあるので，展開図をかく練習 P B も同時に指導すると，理解が深まると D 解き方 展開図をかくと右のようになる。 D BP ＋ PD がもっとも短くなるときは，展開図に 開図をかく問題があり，展開図がかけ A の定理を利用して， 3cm D した。次は，そのときにようこさんが作成した ノートの一部である。このとき，ようこさんが 作成した度数分布表における最頻値（モード）を 求めよ。 P C 6cm D ようこさんが作成したノート 自宅から学校までの通学時間 階級（分） 以上 未満 度数（人） 5 ～ 10 3 10 ～ 15 2 15 ～ 20 6 20 ～ 25 4 25 ～ 30 3 30 ～ 35 2 計 20 解き方 度数がもっとも多い階級の階級値が最頻値にあたる。 ようこさんが作成した度数分布表より，15 分以上 20 分未満の階級の度数がもっと も多いので，最頻値は 17.5 分である。 は極めて簡単である。 B √32 ＋ 62 ＝√45 ＝ 3 √5 cm その結果について，度数分布表をノートに作成 ていれば，最短距離の長さを求めるの テキスト P36 入試問題の研究⑶大問 6 ⑶ おいて直線になるときなので，BP ＋ PD は三平方 対して，自宅から学校までの通学時間を調べ， ともに，より得点アップが狙える。 左記の問題でも，この問題の前に展 C ようこさんは，自分のクラスの生徒 20 人に 空間図形の面に沿って引かれる線の 最短距離は，展開図で表したときに直 辺 AC 上を動く点を P とする。2 つの線分 BP，PD の長さの和 BP ［代表値］ ～高知 大問 3 ⑵ 正答率 16.9％～ 最短距離（展開図の利用） 代表値 代表値には平均値，中央値，最頻値 などがある。左記の問題では，各値の 意味を知ってさえいれば，確実に得点 できる問題である。冬期テキストで確 認しておこう。 テキスト P19 例題 3 ⑶
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