数のイマージュ、形のパサージュ ― 数と戯れ、図形と遊ぶ ― 伊那 21. 闊歩メネラオスの定理メネラオスと聞けばすぐにホメロスの叙事詩『イリアス』と『オデュッセイア』に登場する絶世の美女ヘレネの夫、スパルタ王メネラオスを思い浮かべるかもしれないが、幾何の定理を発見したメネラオスはまったくの別人なのである。次の図をご覧いただきたい。左図は、三角形△ABC に線分 PQR が交わっていることを示している。そこで、メネラオスの定理： △ABC の 3 辺 BC、CA、AB、またはそれらの延長が、いずれの頂点をも通らない 1 直線と交わる点をそれぞれ、P、Q、R とすれば、次の関係式 =1 がなりたつ。この定理はたいへん美しい、そして定理が美しければ美しいほど、どういうわけかその有用性の度合いも高くなるのである。この定理は、右図のように補助線 SC を加えることによって簡単に証明することができる。ここで SC と RP は平行である。このとき相似な三角形△BPR と △BCS、また△ACS と△AQR の対応する辺の比の関係： = = が得られて、これらを組み合わせると = =1 となるから定理は証明された。次の図は、少しわかりにくいが、線分 PRQ が△ABC の辺 AB 、BC、 AC の延長上で交わる場合を示している。このような場合もメネラオスの定理は成り立つ。なお、証明は省略するが、メネラオスの定理の逆も成り立つ。メネラオスの定理の逆：三角形△ABC の 3 辺 BC、CA、AB または、その延長上の 3 点をそれぞれ P、Q、R とし、そのうちの 2 つは辺上にあって他は辺の延長上にあるか、または、3 つとも辺の延長上にあるとする。このときもし =1 であれば、3 点 P 、Q、 R は 1 直線上にある。参考文献：矢野健太郎：幾何の有名な定理（数学ワンポイント双書 36、共立出版）