入試直前必見情報～中 3 数学～

発展新演習　中 3 数学　指導のポイント
入試直前必見情報～中 3 数学～
トップ校の合否を分ける「てごわい問題」を最終チェック！！
［数の性質
（倍数・約数）］
～秋田　大問 1 ⑽　正答率 0％～
300 を 2 けたの自然数 N で割ったところ，商があまりの 2 倍になった。このような N を
求めなさい。
数の性質
数の性質の問題は，国私立では出題
が多いが，公立入試ではあまり出題さ
れない。したがって，左記の問題のよ
解き方　あまりを n とおくと，300 ＝ N × 2n ＋ n ＝ n（2N ＋ 1）
また，300 ＝ 22 × 3 × 52
うに，公立入試での正答率は大問 1 で
あるにも関わらず 0 ％である。
N は自然数だから，2N ＋ 1 は奇数である。したがって，n は偶数になる。
よって，n ＝ 22 ＝ 4
ただし，解くのに必要な時間は短く，
高得点を狙うのであれば，いわゆる捨
2N ＋ 1 ＝ 300 ÷ 4 ＝ 75　N ＝ 37
て問にするのはもったいない。国私立
対策も兼ねて，テキストで練習させる
ことを勧める。
テキスト P5 演習問題Ｂ大問 7
［確率
（樹形図や表を使って場合を書き出す）］
～長野　問 2 ⑶②　正答率 4％～
1 から 6 までの整数を l つずつ記入した 6 枚のカード 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，
6 をよくきって，同時に 2 枚を取り出す。取り出された 2 枚のカードのうち，偶数が記入
してあるカードの枚数を m，5 以上の整数が記入してあるカードの枚数を n とするとき，m
＞ n となる確率を求めなさい。
○を付けた 7 通りであ
る。
を挙げてもそれほど多くない。計算で
要領良く場合の数を求めることよりも，
させた方が，確実に得点できるように
2○
右のように 15 通りで
m ＞ n となるのは，
近年の入試の傾向では，全ての通り
漏れなく書き出すことを優先して練習
解き方　全部の取り出し方は，
ある。
確率
3○
3
1
4○ 2
5
4○
5
3
5
4
6
6○
6
なる。樹形図や表などを活用し，漏れ
4○
なく書き出せるように，生徒自身の中
5
6○
5
6
でルールを決めさせるとよい。
テキスト P40 演習問題Ａ大問 3 ⑵
7
よって， 15 である。
［図形の移動と関数］
～埼玉　大問 2 ⑶　正答率 5.7％～
AB ＝ 6 cm，BC ＝ 12 cm， ∠B ＝ 90°の直角三
角形 ABC と，PQ ＝ SR ＝ 6 cm，PS ＝ QR ＝ 2 cm
の長方形 PQRS があり，右の図のように，点 Q
は辺 BC 上にあって点 R と点 C が重なっていま
す。
長方形 PQRS がこの状態から出発して，毎秒
P 2cm S
A
る分野である。「求めるべき部分がど
6cm
6cm
B
1 cm の速さで，辺 PQ が辺 AB と重なるまで矢
12cm
Q
C
（R）
印の方向に平行移動します。ただし，辺 QR は辺
のような形で変化していくのか」を把
握することが必須である。左記の問題
は，最初だけ三角形であるが，その後
すぐに台形になる。問題によっては，
形を変えることが複数回あるので，場
合分けをして考える癖をつけさせる必
BC 上を動くものとします。
出発してから x 秒後の，直角三角形 ABC と長方形 PQRS の重なった部分の面積 y を x の
式で表しなさい。また，x の変域を求めなさい。
要がある。
また，各長さを求める際に，三角形
の相似や三平方の定理を用いることも
解き方　BQ ＝ 12 － 2 ＝ 10（cm）を毎秒 1 cm で進むから，x の変域は，0 ≦ x ≦ 10
PQ と AC，SR と AC の交点をそれぞれ T，U とすると，△ABC，△TQC，△URC
は相似になる。よって，TQ：QC ＝ UR：RC ＝ AB：BC ＝ 1：2
x＋2
x
また，x 秒後，RC ＝ x cm，QC ＝ x ＋ 2（cm）だから，TQ ＝ 2 ，UR ＝ 2
1
x
x＋2
y は台形 TQRU の面積より，y ＝ 2 × 2 ＋ 2
×2＝x＋1
（
図形の移動と関数
図形の移動は，近年再注目されてい
）
多い。求める部分だけを見ていると，
気づき辛いので，大きな三角形から小
さな三角形をひくなど柔軟な思考を鍛
えてほしい。
テキスト P15 類題大問 2
［いろいろな事象と関数（不連続な関数）］
～岐阜　大問 2 ⑷イ　正答率 26％～
ある会社では，運送会社のＡ社とＢ社を利用して，いろいろな重さの商品を運んでいる。
x kg の商品を l 個運ぶときの料金を y 円とすると，0 ＜ x ≦ 20 のとき，それぞれの運送会
社との料金に関する契約は次のとおりである。
Ａ社との契約
y（円）
0 より大きく 6 以下
400
6 より大きく 14 以下
1000
14 より大きく 20 以下
1600
最近注目が高まってきている単元で
ある。出題されると，大問全体で高配
点になることが多い。決して難しい内
Ｂ社との契約
（
x kg）
いろいろな事象と関数
容ではないので，対策をして確実に得
商品を 1 個運ぶときの料金は，400 円に，商品の
重さに比例する金額を加えたものとする。加える
金額は 1 kg あたり 80 円以下である。
点できるようにしておきたい。携帯電
話の料金や宅配便の料金など，身近な
ものを例に挙げ説明をすると理解が早
い。
y は x の 1 次式で表される。
ポイントは，長めの問題文を正確に
20 kg 以下の商品を 1 個運ぶとき，Ａ社を利用する場合とＢ社を利用する場合の料金の差
把握すること，変域ごとに場合分けす
は，最大でいくらになるかを求めなさい。
ること，グラフや式に表すことである。
易しい出題ではグラフが与えられてい
解き方　Ｂ社との契約を x と y で表すと，
y ＝ 80x ＋ 400
よって，Ａ社とＢ社の料金をグラフ
に表すと右のようになる。
右のグラフを参考にして，料金の差
が大きいところを絞って，調べる。
x ＝ 6 のとき，Ａ社は，400 円
Ｂ社は，80 × 6 ＋ 400 ＝ 880（円）
差は，880 － 400 ＝ 480（円）
x ＝ 14 のとき，
Ａ社は，1000 円
る場合もあるが，生徒自身でかけるよ
（円）
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
Ｂ社は，80 × 14 ＋ 400 ＝ 1520（円）
0
うに指導することを勧める。
テキスト P11 例題 4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
（kg）
差は，1520 － 1000 ＝ 520（円）
よって，料金の差は最大で 520 円である。
［回転体
（相似の利用）］
～秋田　大問 1 ⒁　正答率 10.8％～
A
D
右の図のように，台形 ABCD があり，AD ＝ 1 cm，
回転体も三角形の相似も，極めて入
CD ＝ 2 cm， ∠BCD ＝ ∠ADC ＝ 90°， ∠BAD ＝ 135°で
試に頻出な単元であるが，左記の問題
ある。この台形 ABCD を辺 CD を軸として 1 回転してで
のように，融合させると正答率は急降
きる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率をπとする。
下する。ライバルと差をつけるために
B
C
解き方　BA と CD を延長した交点を E とすると，
E
△EAD ∽△EBC
∠EAD ＝ 180°
－ 135°
＝ 45°
，∠EDA ＝ 90°
より，
A
△EAD は直角二等辺三角形である。
1cm
D
2cm
△EBC が回転した立体から△EAD が回転した
立体をひくと，台形 ABCD が回転した立体の体
B
2cm
H 1cm C
とすると，AD // BC，∠BAD ＝ 135°より，
∠BAH ＝ 45°
よって，△HAB は直角二等辺三角形になる。
したがって，BC ＝ 2 ＋ 1 ＝ 3（cm）
AD：BC ＝ 1：3 より，△EAD を回転した立体の体積と△EBC を回転した立体の
体積の比は，13：33 ＝ 1：27
台形 ABCD を回転した立体は，△EAD を回転した立体の体積の 27 － 1 ＝ 26（倍）
である。
1
26
よって，π× 12 × 1 × 3 × 26 ＝ 3 π（cm3）
も，解けるようにさせておきたい。
まず，入試対策としては，回転体＝
円柱，円錐，球が組み合わさってでき
ている立体と捉えていて良い。長方形
を回す→円柱，直角三角形を回す→円
錐，半円を回す→球，四分円を回す→
半球は反射的に頭に思い浮かぶくらい
に指導する。あとは，単体で求められ
るか，差や和を使うかであるが，複数
積が求められる。
A から BC に垂線を下ろし，BC との交点を H
回転体（相似の利用）
回解けば判断がつきやすくなるので，
テキストで練習させてほしい。
また，左記の問題のように，補助線
を使って三角形の相似を見つけること，
相似比の 2 乗が面積比・相似比の 3 乗
が体積比になることなどは，他でも応
用が利くことなので，合わせて取り組
ませると効率的である。
テキスト P34 例題 3

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