問 - Biglobe

新微分積分 II
3 章重積分 § 1 2 重積分 (p.59∼p.72)
¤
¡
£問 1 ¢
¤
¡
£問 4 ¢
x + y + z = 1 より，z = − 2 x − y + 2
3
4
2
3
2
また，領域 D を
x < 1, 0 <
D = { (x, y) | 0 <
=y<
=¶2} とすれば
Z Z µ= =
y
2
V =
− x−
+ 2 dx dy
3
2
D
¤
¡
£問 2 ¢
¾
Z 1 ½Z 2
2
与式 =
(x − xy) dx dy
0
Z 1·
1
（ 1 ）領域を図示すると
y
y = x2
−1 O
¸2
1 x3 − 1 yx2 dy
3
2
0
1
Z 1 n³
´ ³
´o
8 − 2y − 1 − 1 y
=
dy
3
3
2
0
Z 1³
´
7 − 3 y dy
=
3
2
0
·
¸1
= 7 y − 3 y2
3
4
0
−1
=
よって
Z
Z
½Z
(x + y) dy
0
2
·
2
{x3 − (−x)} dx
−1
dx
0
（ 2 ）領域を図示すると
y
2
=2+1=3
¾
Z 3 ½Z 1
2
（ 2 ）与式 =
x y dy dx
−1
3
·
=
−1
Z
−2
1 x2 y 2
2
O
¸1
dx
³
よって
2
0
Z
=
π
2
·
dx
dx
0
n ³
´
o
sin x + π − sin x dx
2
0
·
¸ π2
³
´
π
= − cos x +
+ cos x
2
0
³
´ ³
´
π
= − cos π + cos
− − cos π + cos 0
2
2
= {−(−1) + 0} − {0 + 1} = 0
=
π
2
½Z
¾
y
2
2
(x + y ) dx
2
·
dy
0
¸y
1
3
2
=
x + y x dy
3
1
0
Z 2³
´
1 y 3 + y 3 dy
=
3
1
Z 2
4 y 3 dy
=
1 3
·
¸2
= 4 1 y4
3 4
1
Z
¸ π2
sin(x + y)
2
1
0
0
Z
cos(x + y) dy
Z
与式 =
= − 27 − 1 = − 28 = −14
2
2
2
)
Z π (Z π
2
x
−2
=
（ 3 ）与式 =
x=y
1
´
1 x2 − 2x2 dx
2
−1
Z 3³
´
=
− 3 x2 dx
2
−1
·
¸3
1
3
= − x
2
−1
3
dx
−1
¸2
1
1
4
2
=
x + x
4
2
−1
³
´
= (4 + 2) − 1 + 1
4
2
21
=6− 3 =
4
4
=
Z
dx
¸x2
−1
=
¸1
xy + 1 y 2 dx
2
0
0
Z 2³
´
=
x + 1 dx
2
0
·
¸2
1
1
2
=
x + x
2
2 0
Z
·
xy
Z
y = −1
−1
=
¾
1
2
x
)
x2
x dy
·
2
(Z
−1
¤
¡
£問 3 ¢
Z
2
与式 =
19
= 7 − 3 = 28 − 9 =
3
4
12
12
（ 1 ）与式 =
2
= 1 (16 − 1)
3
= 1 · 15 = 5
3
（ 3 ）領域を図示すると
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y
y=x
Z
4
(Z
2
− 12 x+1
与式 =
0
)
(x + y) dy
dx
0
·
¸− 12 x+1
xy + 1 y 2
dx
2
0
0
Z 2½ ³
´
³
´2 ¾
=
x −1x+1 + 1 −1x+1
dx
2
2
2
0
Z 2³
´
=
− 1 x2 + x + 1 x2 − 1 x + 1 dx
2
8
2
2
0
Z 2
(−3x2 + 4x + 4) dx
= 1
8 0
·
¸2
1
3
2
=
− x + 2x + 4x
8
0
Z
2
=
y = x2
O
よって
Z
2
(Z
√
x4
y
dy
x
与式 =
x2
1
Z
2
1
x
=
1
= 2
3
Z
2
1
Z
= 2
3
2
1
Z
= 2
3
2
1
Z
= 2
3
2
·
1
2 y √y
3
1 (x4
x
√
x
)
dx
= 1 (−8 + 8 + 8) = 1 · 8 = 1
8
8
¸x4
〔別解〕
dx
x + 2y <
= 2 より，x <
= −2y + 2 であるから，領域 D は次の不等
x2
√
x4 − x2 x2 ) dx
式で表すことができる．
0 <
=y<
= 1, 0 <
=x<
= −2y + 2
1 (x4 x2 − x2 x ) dx
x
したがって
Z
½Z
1
·
0
(x > 0 より)
Z
Z
¸2
n
1
=
1 x6 − 1 x3
6
3
1
n³
´ ³
´o
64 − 8 − 1 − 1
6
3
6
3
64
−
16
−
1
+
2
·
6
49
49
·
=
6
9
0
Z
1
=
0
(2y 2 − 4y + 2 − 2y 2 + 2y) dy
Z
1
(y − 1) dy
¸1
1
2
= −2
y −y
2
0
³
´
³
´
1
= −2
− 1 = −2 · − 1 = 1
2
2
·
√
2
2
2
（ 2 ） x2 + y 2 <
= 1 より，y <
= 1 − x ，すなわち − 1 − x <
=y <
=
√
2
1 − x であるから，領域 D は次の不等式で表すことができる．
x = y2
x
O
−1 <
=x<
= 1, 0 <
=y<
=
したがって
Z
(Z
1
与式 =
(2x + y) dx
0
Z
=
·
¸y 2
x2 + xy
=
·
=
0
2
(y 4 + y 3 ) dy
0
1 y5 + 1 y4
5
4
¸2
0
52
= 32 + 4 =
5
5
dx
Z
1
1 y2
2
¸√1−x2
dx
0
(1 − x2 ) dx
−1
Z 1
= 1 · 2 (1 − x2 ) dx
2
0
·
¸1
= x − 1 x3
3
0
dy
0
Z
= 1
2
0
2
·
1
−1
dy
)
0
=
)
1 − x2
y dy
Z
y2
√
√
1−x2
与式 =
−1
(Z
dy
0
0
2
2
¸−2y+2
o
1 (−2y + 2)2 + y(−2y + 2) dy
2
= −2
y
Z
¾
(x + y) dx dy
1 x2 + yx
2
0
（ 4 ）領域を図示すると
よって
−2y+2
0
=
(x5 − x2 ) dx
1
= 2
3
= 2
3
= 2
3
1
与式 =
1 (x6 − x3 ) dx
x
·
= 2
3
2
2
=1− 1 =
3
3
〔別解〕
2
2
x2 + y 2 <
= 1 より，x <
= 1 − y ，すなわち −
p
1 − y2 <
=x<
=
p
2
1 − y であるから，領域 D は次の不等式で表すことができる．
p
p
2
2
0 <
=x<
= 1−y
=y<
= 1, − 1 − y <
¤
¡
£問 5 ¢
1
（ 1 ） x + 2y <
= 2 より，y <
= − x + 1 であるから，領域 D は次の不
したがって
2
等式で表すことができる．
1
0 <
=x<
= 2, 0 <
=y<
=−2x+1
したがって
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Z
1
(Z √
与式 =
0
Z
−
1
y dx
2y
dy
0
=
O
¸√1−y2
·
1
x
2y
0
Z
dy
1
2y
p
Z
1 − y 2 = t とおくと，−2y dy = dt より，2y dy = −dt
y
0
→
1
t
1
→
0
Z 0√
·
sin x dy
t dt
¸1
→
1
t
0
→
1
0
(Z
2
2− 5
x
f (x, y) dy
dx
1 √4 − x2 , x > 0 より，4y 2 = 4 − x2 ，すなわち，x =
=
2
p
2
2 1 − y であるから，領域は次の不等式で表すことができる．
p
2
0 <
=y<
= 1, 0 <
=x<
=2 1−y
（ 2 ） y =
したがって
f (x, y) dx
0
求める体積を V とする．x + y = 2 より，y = 2 − x であるから，
領域は次の不等式で表すことができる．
0 <
=x<
= 2, 0 <
=y<
=2−x
この領域内で z = 4 − x2 >
= 0 なので
Z

（ 4 ） x =
Z
·
¾
=
dy
ey
とができる．
2
0 <
=x<
= 1, x <
=y<
=1
Z
1
½Z
与式 =
f (x, y) dy
0
·
2
dx
¸2−x
y
0
dx
0
2
(4 − x2 )(2 − x) dx
0
2
(x3 − 2x2 − 4x + 8) dx
0
1 x4 − 2 x3 − 2x2 + 8x
4
3
¸2
0
¤
¡
£問 9 ¢
¾
1
2
= 4 − 16 − 8 + 16
3
20
= 12 − 16 + 24 =
3
3
y より，y = x2 であるから，領域は次の不等式で表すこ
したがって
2
=
f (x, y) dx
0
=
y
0 <
=y<
= 1, e <
=x<
=e
¾
2−x
(4 − x )
Z
0
0
=
dy
とができる．
e
½Z
(4 − x ) dy
Z
（ 3 ） y = log x より，x = e であるから，領域は次の不等式で表すこ
与式 =
2
V =
y
1 ½Z
1
= 1 (− cos 1 + cos 0)
2
1
= (1 − cos 1)
2



Z 1 Z 2√1−y2
√
Z
¤
¡
£問 8 ¢
)
1

1 dt
2
sin t · 1 dt
2
0
Z 1
sin t dt
= 1
2 0
·
¸1
1
=
− cos x
2
0
2
0
Z
x sin x2 dx
与式 =
5
したがって
1
0
よって
0 <
=x<
=y<
= 2, 1<
=2− 5x
したがって
0
dx
0
x
で表すことができる．
与式 =
y
また，x と t の対応は
5 y より，y = 2 − 2 x であるから，領域は次の不等式
2
5
5
2
¸x
0
¤
¡
£問 6 ¢
Z
dx
x2 = t とおくと，2x dx = dt より，x dx =
t(−dt)
2 t√t
3
与式 =
·
2
sin x
Z
2
= 2 ·1=
3
3
（ 1 ） x = 5 −
1
=
0
=
2
0
1
1√
¾
x
0
=
Z 0√
=−
t dt
=
½Z
0
Z
1
Z
1
与式 =
また，y と t の対応は
与式 =
x
この領域は，0 <
=x<
= 1, 0 <
=y<
= x と表せるので
1 − y 2 dy
0
よって
1
0
=
x=y
1
)
dx
0
Z
dy
1−y 2
Z √1−y2
(
=
√
y
)
1−y 2
dx
x2
¤
¡
£問 7 ¢
2
（ 1 ）領域 D を，x2 + y 2 <
=a , x>
= 0, y >
= 0 とすると，この領域は
次の不等式で表すことができる．
0 <
=x<
= a, 0 <
=y<
=
√
a2 − x2
この領域内で，z = y >
= 0 であるから，求める体積を V とすると
0<
=y<
= 1, y <
=x<
= 1 であるから，領域は図のようになる．
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ZZ
V =2
y dx dy
D
Z
a
(Z
)
√
a2 −x2
=2
y dy
0
Z
a
·
=2
Z
0
a
=
·
dx
0
1 y2
2
¸√a2 −x2
dx
0
(a2 − x2 ) dx
0
= a x − 1 x3
3
¸a
2
0
2
= a3 − 1 a3 = a3
3
3
2
（ 2 ）領域 D を，x2 + y 2 <
=a , x>
= 0, y >
= 0 とすると，この領域は
次の不等式で表すことができる．
√
2
2
0 <
=x<
= a, 0 <
=y<
= a −x
√
この領域内で，z = a2 − x2 >
= 0 であるから，求める体積を V
とすると Z Z
p
V =4
a2 − x2 dx dy
D
Z
a
(Z
=4
0
Z
√
a2 −x2 p
)
a2
−
x2
dy
0
a
=4
(
Z
p
2
2
a −x
0
dx
)
√
a2 −x2
dy
dx
0
· ¸√a2 −x2
Z ap
2
2
=4
a −x
y
dx
0
Z
=4
0
a
(a2 − x2 ) dx
0
¸a
·
= 4 a2 x − 1 x3
3
0
³
´
8
1
3
3
= 4 a − a = a3
3
3
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