埼玉工業大学テーマ B46：機械工学学習支援セミナー（小西克享）対数平均－1/3 対数平均ある事象の平均値を求めるには，算術平均を利用することが一般的です．たとえば図 1 のように値が A, B, C, D, E の場合，その平均値 M は A B C  D  E (1) M 5 と計算できます． y A B C D E 0 図１図 2 に示すように事象がグラフで表される場合，平均する区間を等分割して値を求め，算術平均として平均値を求めることができます．この場合，計算式は(1)式と同じになります．分割数を増やして区間を小さくすればするほど，正確な平均値が得られます． y A B C D E x 0 図2 図 2 の場合，算術平均の代わりに面積平均を用いることもできます．面積平均とはグラフの面積を区間の長さで割って，面積が等価な長方形の高さを求めること意味しています．グラフを折れ線で近似すると，各区間の面積は台形の面積として計算することができます．グラフ全体の面積は台形の面積の足し合わせとして求めることができます．図 3 の場合，グラフの面積 S は h  A  B   h B  C   h C  D   h D  E  S 2 2 2 2 (2) h  A  2 B  2C  2D  E   2 したがって，このグラフの面積平均 M は埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享）対数平均－2/3 S 1 (2)   A  2 B  2C  2 D  E  4h 8 として与えられます．この場合も，分割数を増やした方が正確な値が得られます．参考：分割数が n のとき，各分割点の値を yi とすると，面積平均値は 1  y1  2 y2  2 y3    2 yn  yn1  (3) M 2n になります． M y A B C D h h h E h x 0 図3 ところで，グラフが指数関数の場合，分割しなくても区間の両端の値がわかれば面積平均値を簡単に求めることができます．図 4 において，グラフの関数を (4) y  Ae  ax とします． y 指数曲線 A 面積等価 M B x b 0 指数曲線の描く面積図4 グラフの面積は b    b b A 1 1  S   ydx  A e ax dx   A e ax    e ab  1  A  Ae ab 0 0 a a a 0 となりますが， x  b において， y  Ae ab  B (5) とおくと，  埼玉工業大学  機械工学学習支援セミナー（小西克享）対数平均－3/3  1 1 (6) A  Aeab   A  B  a a となります．次に，面積平均は，グラフの面積 S を底辺の長さ b で割ればよいので， A B (7) M ab ですが，(5)式を変形すると B e ab  A 両辺の対数を取ると， B ln e ab  ln A より A ab  ln B となるので，(7)式に代入すると，面積平均は A B (8) M A ln B となり，グラフの区間の両端の値のみで面積平均値を計算できることがわかります．式の分母に対数（ln）が含まれることから対数平均と呼ばれます．対数平均は，区間を分割する必要がなく，誤差のない正確な平均値を得ることができます． S 注意：対数平均は，グラフが指数関数で表される場合のみ適用することができます．適用例：熱交換器の高温側と低温側の流体の温度差は指数関数となるので，平均値  m は，入り口温度差を 1 ，出口温度差を  2 とすると    2  m  1  ln 1  2 で表されます．この平均値は，対数平均を用いた流体の温度差の平均であるため，対数平均温度差と呼ばれます． http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/LogMean.pdf Copyright ⓒ 2014 小西克享, All Rights Reserved. 個人的な学習の目的以外での使用，転載，配布等はできません．お願い：本資料は，埼玉工業大学在学生の学習を支援することを目的として公開しています．本資料の内容に関する本学在学生以外からのご質問・ご要望にはお応えできません．