[１] (1) C1 ，C2 の方程式から y を消去して整理すると 2x 2 - ax - b =0 ………① C1 ，C2 が異なる 2 点で交わる条件は，①が異なる 2 つの実数解をもつことより， ①の判別式を D とおくと， D= a 2 +8b >0 ……（答） (2) ①の 2 つの解を a，b 0 a < b 1 とおくと，C1 ，C2 が囲む図形の面積 S は S= Q b Q Q = -2 b 0 x - a 1 6 0 x - a 1 - 0 b - a1 7 dx a Q b : 1 1 x - a 13 - 0 b - a 10x - a 1 2 0 3 2 = -2 = -2 = b 2 2 60 -x + ax + b1 - x 7 dx =-2 a 0 x - a 10 x - b 1 dx a 2 60 x - a 1 - 0 b - a 10 x - a 17 dx a ; 1 b - a 1 3 =9 30 b a よって，b- a =3 ，0b - a 1 2 =9 ，0a + b 1 2 -4 ab= 9 a，b は 2 次方程式①の 2 解より，解と係数の関係から a+ b = したがって， 8 a b ，ab= 2 2 a2 9 1 +2b = 9 ，b = - a 2 ……（答） 4 2 8 (3) C2 :y =- x - a 2 9 2 + a2 +b 4 C2 の頂点の座標を 0 x, y 1 とおくと y a x = ……② 2 a2 y= + b ……③ 4 5 9 1 ③と(2)の結果より，y = + a 2 ……④ 2 8 9 2 ②，④より，a を消去して y = x2 9 + 2 2 -1 O したがって，放物線 C 2 の頂点が描く軌跡は図の放物線である． 1 x [２] (1) OA= a，OB= b，OC= c とおくと OP= 1 2 1 a，OQ= b，OR= c 2 3 4 PQ=OQ- OP= 2 1 1 1 b - a，PR=OR -OP= c - a 3 2 4 2 また， a = b = c =1 ，a･ b = b ･ c = c ･ a= 1 2 よって 2 PQ = 4 2 2 1 13 1 1 1 2 3 2 2 2 b - a ･b + a = ， PR = c - a･ c + a = 9 3 4 36 16 4 4 16 13 3 したがって， PQ = U ， PR = U ……（答） 6 4 (2) PQ ･ PR= 8 2 1 1 1 b- a ･ c- a 3 2 4 2 98 9 = 1 1 1 1 b･c- a･b- c･a+ a 6 3 8 4 = 5 ……（答） 48 2 (2) 三角形 PQR の面積は 1 U PQ 2 2 2 2 PR - 0PQ ･ PR1 = 1 2 ] 13 3 5 ･ 36 16 48 8 9 2 131 =U ……（答）　96 [３] 袋の中に赤玉が x 個，青玉が y 個入っている状態を A0 x, y 1 で表すことにすると 1 3 2 3 A0 0, 3 1 A(1, 2) 2 3 A(2, 1) 1 3 A0 3, 0 1 A0 2, 1 1 1 1 3 A0 0, 3 1 1 A(2, 1) A0 0, 3 1 A(1, 2) 2 3 A(2, 1) よって，奇数回目の操作後の袋の状態は A0 1, 2 1 ，A0 3, 0 1 のいずれかであり，硬貨をもらうことは出来ない．もらう硬貨の総枚数が 1 枚となるのは (ⅰ) 2 回目に 1 枚もらうとき A0 2, 1 1 A0 1,2 1 A0 0, 3 1 A0 1, 2 1 A0 2,1 1 （ⅱ）4 回目に 1 枚もらうとき A0 2, 1 1 A0 1,2 1 A0 2, 1 1 A0 1, 2 1 A0 0, 3 1 A0 2, 1 1 A0 3,0 1 A0 2, 1 1 A0 1, 2 1 A0 0,3 1 よって，もらう硬貨の枚数が 1 枚である確率は 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 26 % % 1% + % % % + % 1% % = ……（答） 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81 もらう硬貨の総枚数が 2 枚となるのは，2 回目の操作後に 1 枚，4 回目の操作後に 1 枚もらう場合であり A0 2, 1 1 A0 1,2 1 A0 0, 3 1 A0 1, 2 1 A0 0,3 1 よって，もらう硬貨の枚数が 2 枚である確率は 2 1 1 2 % % 1% = ……（答） 3 3 3 27 [４] (1) n が正の偶数より，n= 2m 0 m :自然数 1 とおける． 2 n -1= 4 m -1= 0 4 -1 104 m-1 + 4 m -2 + …… + 4 2 +4 +1 1 = 304 m-1 + 4 m -2 + …… + 4 2 +4 +1 1 したがって，2 n -1 は 3 の倍数である．(証明終) (2) 2 p-1 - 1= p k ……① (１) p= 2 のとき，① C 2 k =1 C k =0 (ⅱ) p) 3 のとき，p- 1 は正の偶数だから(1)より 2 p-1 - 1 は 3 の倍数である．よって，①から p= 3 であり ① C 3 k =3 C k=1 以上より，0 p, k1 = 0 2, 0 1 ，0 3, 1 1　