2015大阪大学理系3番

2015 阪大理系
問題 3
以下の問いに答えよ。
√
√
2と 3 3 が無理数であることを示せ。
√
√
(2) p, q, 2p + 3 3q のすべて有理数であるとする。そのとき、p = q = 0 であ
ることを示せ。
(1)
解答
(1)
√
2 は x2 = 2 の解である。
n
(m, n ∈ N は互いに素)
x=
m
とおくと、
n2
= 2 ⇔ n2 = 2m2
m2
より、n = 2n0 (n0 ∈ N) とおける。
4n02 = 2m2 ⇔ 2n02 = m2
これより、m = 2m0 (m0 ∈ N) とおけるが、これは m, n が互いに素であることに
√
矛盾。よって、 2 は無理数である。
√
r
3
3 = (r, s ∈ N は互いに素) とおくと、
s
r3 = 3s3
より、r は３の倍数。r, s は互いに素だから、
s ≡ ±1 (mod3)
3s3 は３の倍数であるが、9 の倍数ではない。一方 r3 は 9 の倍数である。これは
矛盾。よって、無理数である。
(2)
√
2p +
√
3
3q = r
(p, q, r ∈ Q)
とおく。
(
√ )3
3q 3 = r − 2p
√
√
= r3 − 3 2r2 p + 6rp2 − 2 2p3
(
)√
∴ 3r2 p + 2p3
2 = r3 + 6rp2 − 3q 3
c
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-1-
RadicalMath
3r2 p + 2p3 ∈ Q, r3 + 6rp2 − 3q 3 ∈ Q
だから、
3r2 p + 2p3 = 0, r3 + 6rp2 − 3q 3 = 0
\ 0 とすると、
p=
3r2 + 2p2 = 0
であるが、
3r2 + 2p2 > 0
であるので、p = 0 となる。このとき、
√
3
3q = r
これよりさらに q = r = 0 となる。
c
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-2-
RadicalMath

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