海面基準海面着目する深度大気圧海底 z

「海洋大気圏環境学」小テスト 5
担当：荒井正純
実施： 2014/7/4
【問題】
２層プリミティブ方程式における上層の圧力，下層の圧力の導出過程を述べよ．
【解答】
上層の圧力
pa 大気圧
上層の圧力を p1 とおくと，静水圧バラ
z
z=ξ
z=z
ンスは，
H1
η
z = −H1 − η
海面
ξ
基準海面
流体柱
着目する深度
密度境界面
（流れがない時）
密度境界面
（流れがある時）
∂p1
= −gρ1
∂z
(4.3a)
である．これを，任意の深度 z = z から，
海面 z = ξ まで，積分する．
∫ ξ
∫ ξ
∂p1
dz = −gρ1
dz
z
z ∂z
p1 |z=ξ − p1 |z=z = −gρ1 (ξ − z)
ここで，海面での圧力 p1 |z=ξ は大気圧
pa と等しい．又，深度 z = z での圧力
p1 |z=z は今求めたい圧力 p1 である．従っ
海底
て，任意の深度での上層の圧力が，
p1 = pa + gρ1 (ξ − z)
(4.4)
と求まる．
この内，圧力の水平勾配にのみ寄与する項のみを取り出し，それを p′1 とおく．
p′1 = pa + gρ1 ξ
(4.7a)
下層の圧力
下層の圧力を p2 とおくと，静水圧バランスは，
∂p2
= −gρ2
∂z
である．
M10
(4.3b)
これを，任意の深度 z = z から，密度
大気圧 pa
境界面 z = −H1 − η まで，積分する．
z
z=ξ
上層
∫
海面
ξ
−H1 −η
z
基準海面
∂p2
dz = −gρ2
∂z
∫
−H1 −η
dz
z
p2 |z=−H1 −η − p2 |z=z
H1
= −gρ2 (−H1 − η − z)
密度境界面
（流れがない時）ここで，密度境界面における上層の圧力と
η
下層の圧力の連続性により，z = −H − η
1
密度境界面
（流れがある時）で上層の圧力と下層の圧力は等しい．
z = −H1 − η
下層
z=z
流体柱
着目する深度
(4.4) に z = −H1 − η を代入すると，
海底
z = −H
p2 |z=−H1 −η = p1 |z=−H1 −η
p1 |z=−H1 −η = pa + gρ1 (ξ + H1 + η)
と求まるから，
p2 |z=−H1 −η = pa + gρ1 (ξ + H1 + η)
である．一方，深度 z = z での圧力 p2 |z=z は今求めたい圧力 p2 である．従って，任意の深度での下層の
圧力が，
p2 = pa + gρ1 (ξ + H1 + η) + gρ2 (−H1 − η − z)
∴
p2 = pa + gρ1 ξ − g(ρ2 − ρ1 )(H1 + η) − gρ2 z
(4.5)
と求まる．
この内，圧力の水平勾配にのみ寄与する項のみを取り出し，それを p′2 とおく．
p′2 = pa + gρ1 ξ − g(ρ2 − ρ1 )η
これを，換算重力定数，
g′ =
ρ2 − ρ1
g
ρ2
(4.6)
を用いて書き換える．
p′2 = pa + gρ1 ξ − g ′ ρ2 η
M11
(4.7b)

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